Elliptische Kurve/R/Eine Komponente/Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {R}$, gegeben in kurzer Weierstraßform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Das Polynom ${}X^{3}+aX+b$ besitzt in ${}\mathbb {R}$ genau eine Nullstellen.
2. ${}E(\mathbb {R} )$ ist in der metrischen Topologie zusammenhängend.
3. Es gilt die Homöomorphie ${}E(\mathbb {R} )\cong S^{1}$.
4. Es ist ${}E(R)\cong S^{1}$ als reelle Lie-Gruppe.

Eine Lösung erstellen