Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+2X-3/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Es gilt

   ${}X^{3}+2X-3=(X-1){\left(X^{2}+X+3\right)}\,$

   über jedem Körper. In Charakteristik ${}\neq 2$ ist

   ${}X^{2}+X+3={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+3={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {11}{4}}\,.$

   Deshalb ist über ${}\mathbb {Q}$ und über ${}\mathbb {R}$ auch der quadratische Faktor irreduzibel.

2. Die Kurve schneidet die ${}x$-Achse einmalig bei ${}x=1$ und der obere Strang ist streng wachsend, wegen

   ${}3x^{2}+2>0\,$

   und der Monotonie der Quadratwurzel.

3. Über ${}{\mathbb {C} }$ besitzt das quadratische Polynom ${}X^{2}+X+3$ die beiden Nullstellen ${}\pm {\frac {\sqrt {11}}{2}}{\mathrm {i} }-{\frac {1}{2}}$. Somit liegt die Zerlegung

   ${}X^{3}+2X-3=(X-1){\left(X-{\frac {-1+{\sqrt {11}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}{\left(X-{\frac {-1-{\sqrt {11}}{\mathrm {i} }}{2}}\right)}\,$

   vor.

4. Die partiellen Ableitungen sind ${}3X^{2}+2$ und ${}2Y$. In Charakteristik ${}2$ ist ${}(0,1)$ ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik ${}\neq 2$. Dann muss für einen singulären Punkt ${}Y=0$ sein. Es geht also darum, ob ${}X^{3}+2X-3$ und ${}3X^{2}+2$ eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In ${}\mathbb {Z} [X]$ gilt (die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der Diskriminante vereinfachen)

   ${}3{\left(X^{3}+2X-3\right)}-X{\left(3X^{2}+2\right)}=4X-9\,$

   und

   ${}4{\left(3X^{2}+2\right)}-3X{\left(4X-9\right)}=27X+8\,$

   und schließlich

   ${}4{\left(27X+8\right)}-27{\left(4X-9\right)}=275\,.$

   Es ist

   ${}275=5^{2}\cdot 11\,.$

   Wenn die Charakteristik ${}\neq 2,3,5,11$ ist, so liegt jedenfalls eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können. In Charakteristik ${}3$ ist die zweite Ableitung direkt gleich ${}2$ und es liegt eine glatte Kurve vor.

   In Charakteristik ${}5$ ist

   ${}X^{2}+X+3=(X-1)(X-3)\,$

   und somit die Kurvengleichung gleich

   ${}Y^{2}=(X-1)^{2}(X-3)\,,$

   es liegt also ein singulärer Punkt in ${}(1,0)$ vor.

   In Charakteristik ${}11$ ist

   ${}X^{2}+X+3=(X-5)(X-5)\,$

   und somit die Kurvengleichung gleich

   ${}Y^{2}=(X-1)(X-5)^{2}\,,$

   es liegt also ein singulärer Punkt in ${}(5,0)$ vor.

5. Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion.

   ${}p=2\,.$

   Im Punkt ${}(0,1)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}V=Y-1\,$

   zu

   ${}X^{3}+2X-3-Y^{2}=X^{3}+1+(V+1)^{2}=X^{3}+V^{2}\,,$

   es liegt also additive Reduktion vor.

   ${}p=5\,.$

   Im Punkt ${}(1,0)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}W=X-1\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}X^{3}+2X-3-Y^{2}&=(W+1)^{3}+2(W+1)-3-Y^{2}\\&=W^{3}+3W^{2}+3W+1-3-Y^{2}+2W+2\\&=W^{3}+3W^{2}-Y^{2},\end{aligned}}$

   es liegt also multiplikative Reduktion vor. Da ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(5)$ kein Quadrat ist, liegt nichtspaltende multiplikative Reduktion vor.

   ${}p=11\,.$

   Im Punkt ${}(5,0)$ wird die Kurvengleichung mit

   ${}W=X-5\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}X^{3}+2X-3-Y^{2}&=(W+5)^{3}+2(W+5)-3-Y^{2}\\&=W^{3}+4W^{2}+9W+4+2W+10-3-Y^{2}\\&=W^{3}+4W^{2}-Y^{2},\end{aligned}}$

   es liegt also multiplikative Reduktion vor. Da ${}4$ in ${}\mathbb {Z} /(11)$ ein Quadrat ist, liegt spaltende multiplikative Reduktion vor.

Zur gelösten Aufgabe