Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-n)(X+n)/Endlicher Körper/Anzahl/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-n^{2}X=X(X-n)(X+n)\,$

über einem endlichen Körper ${}K$ mit ${}q=p^{e}$ Elementen, wobei die Charakteristik ${}p$ kein Teiler von ${}2n$ sei. Nach Beispiel definiert dies eine elliptische Kurve.

Es sei ${}q=3\mod 4$. Dann ist die Anzahl der ${}K$-Punkte der Kurve gleich ${}q+1$. Hier ist also der Ausdruck, für den es nach Fakt eine Schranke gibt, sogar gleich ${}0$. Neben den vier Punkten der Ordnung ${}2$ (vergleiche Fakt) betrachten wir die Elemente ${}x\in K\setminus \{0,n,-n\}$. Aufgrund der Bedingung an die Charakteristik sind die herausgenommenen Punkte verschieden und ferner ist ${}-x\neq x$. Ferner ist ${}(-x)^{3}-n^{2}(-x)=-(x^{3}-n^{2}x)\neq x^{3}-n^{2}x$. Nach Fakt bzw. Fakt ist ${}-1$ kein Quadrat in ${}K$. Daher ist für jedes Paar ${}x,-x$ genau eines der beiden Elemente ${}x^{3}-n^{2}x$ oder ${}(-x)^{3}-n^{2}(-x)$ ein Quadrat in ${}K$, was dann zu zwei Punkten auf der elliptischen Kurve führt. Dies ergibt ${}q-3$ Punkte und somit gibt es insgesamt ${}q+1$ Punkte.