Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-n)(X+n)/Endlicher Körper/Anzahl/Beispiel

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Es sei . Wir betrachten die Gleichung

über einem endlichen Körper mit Elementen, wobei die Charakteristik kein Teiler von sei. Nach Beispiel definiert dies eine elliptische Kurve.

Es sei . Dann ist die Anzahl der -Punkte der Kurve gleich . Hier ist also der Ausdruck, für den es nach Fakt eine Schranke gibt, sogar gleich . Neben den vier Punkten der Ordnung (vergleiche Fakt) betrachten wir die Elemente . Aufgrund der Bedingung an die Charakteristik sind die herausgenommenen Punkte verschieden und ferner ist . Ferner ist . Nach Fakt bzw. Fakt ist kein Quadrat in . Daher ist für jedes Paar genau eines der beiden Elemente oder ein Quadrat in , was dann zu zwei Punkten auf der elliptischen Kurve führt. Dies ergibt Punkte und somit gibt es insgesamt Punkte.