Elliptische Kurve/Zahlkörper/Reelle Einbettung/Nicht homöomorph/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [U]/(U^{2}-2)$ und wir betrachten die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-{\sqrt {2}}X=X(X^{2}-{\sqrt {2}})\,.$

Unter ${}\varphi _{1}$ werde ${}U$ auf ${}{\sqrt {2}}$ und unter ${}\varphi _{2}$ werde ${}U$ auf ${}-{\sqrt {2}}$ abgebildet. Die von den Einbettungen abhängigen reellen Gleichungen sind

${}Y^{2}=X(X^{2}-{\sqrt {2}})\,$

bzw.

${}Y^{2}=X(X^{2}+{\sqrt {2}})\,.$

Im ersten Fall besitzt die rechte Seite drei reelle Nullstellen, im zweiten Fall nur eine. Daher besteht im ersten Fall die elliptische Kurve (siehe Aufgabe und Aufgabe) topologisch aus zwei reellen Zusammenhangskomponenten, also

${}E(\mathbb {R} )_{1}\cong S^{1}\uplus S^{1}\,,$

und im zweiten Fall aus einer reellen Zusammenhangskomponente,

${}E(\mathbb {R} )_{2}\cong S^{1}\,.$

Im ersten Fall ist die Gruppe isomorph zu ${}S^{1}\times \mathbb {Z} /(2)$, im zweiten Fall einfach zur Kreisgruppe ${}S^{1}$. Die Gruppen sind als abstrakte Gruppen nicht isomorph, da die ${}2$-Torsionen verschieden sind.

Zur gelösten Aufgabe