Endlich erzeugte kommutative Algebren/R noethersch/A über R endlich erzeugt/A endlich über B/B ist endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben $A = R [x_{1}, \dots, x_{n}]$ und $A = B a_{1} + \dots + B a_{m}$ mit $a_{i} \in A$ . Wir setzen $x_{i} = \sum_{j = 1}^{m} b_{i j} a_{j}$ und $a_{i} a_{j} = \sum_{k = 1}^{m} b_{i j k} a_{k}$ mit Koeffizienten $b_{i j}, b_{i j k} \in B$ . Wir betrachten die von diesen Koeffizienten erzeugte $R$ -Unteralgebra $S$ von $B$ und den $S$ -Untermodul $\tilde{A} = S a_{1} + \dots + S a_{m} \subseteq A$ . Die Produkte $a_{i} a_{j}$ gehören wieder zu diesem Modul, daher ist $\tilde{A}$ sogar eine $S$ -Algebra. Weil die $x_{i}$ ebenfalls zu $\tilde{A}$ gehören, gilt sogar $A = \tilde{A}$ . Dies bedeutet, dass $A$ ein endlicher $S$ -Modul ist. Nach Fakt ist $S$ ein noetherscher Ring und nach Fakt ist der $S$ -Untermodul $B \subseteq A$ ebenfalls endlicher $S$ -Modul. Die Kette $R \subseteq S \subseteq B$ zeigt schließlich, dass $B$ eine endlich erzeugte $R$ -Algebra ist.

Zur bewiesenen Aussage