Endlichdimensionale K-Vektorräume/Stabilitätsbegriffe/Determinante/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraumes ${}V$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}\varphi$ asymptotisch stabil ist, dann konvergiert die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0$.
2. Wenn ${}\varphi$ stabil ist, dann ist die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
3. Wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, konvergiert, dann konvergiert die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0$ oder gegen ${}1$.

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