Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Polynomring/Gradbeziehung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist

{}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{(1-z^{d_{1}})}}\cdots {\frac {1}{(1-z^{d_{n}})}}\,.

Wegen ${}1-z^{d}=(1-z){\left(1+z+\cdots +z^{d-1}\right)}$ ist dies gleich

{\frac {1}{(1-z)^{n}}}\cdot {\frac {1}{1+z+\cdots +z^{d_{1}-1}}}\cdots {\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d_{n}-1}}}.

Der Bruch ${}{\frac {1}{1+z+\ldots +z^{d-1}}}$ hat um ${}z=1$ die Potenzreihenentwicklung

{\frac {1}{d}}-{\frac {d-1}{2d}}(z-1)+\ldots ,

was sich durch Einsetzen und Ableiten ergibt. Die Laurent-Entwicklung um ${}z=1$ ist somit

{}{\begin{aligned}\Phi _{G}(z)&={\frac {1}{(1-z)^{n}}}{\left({\frac {1}{d_{1}}}-{\frac {d_{1}-1}{2d_{1}}}(z-1)+\ldots \right)}\cdots {\left({\frac {1}{d_{n}}}-{\frac {d_{n}-1}{2d_{n}}}(z-1)+\ldots \right)}\\&={\frac {1}{d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n}+{\frac {d_{1}+\cdots +d_{n}-n}{2d_{1}\cdots d_{n}}}(1-z)^{-n+1}+\ldots .\,\end{aligned}}

Der Vergleich mit Fakt ergibt die Behauptung.