Endliche Gruppenoperation auf Ring/Gemischte symmetrische Funktionen/Erzeugung/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ und jedem ${}f\in R$ ist der Ausdruck

   ${}\psi _{k}(f)=\sum _{T\subseteq G,\,{\#\left(T\right)}=k}\prod _{\sigma \in T}f\sigma \,$

   invariant.

2. Wenn ${}R$ einen Körper der Charakteristik ${}0$ enthält, so erzeugen die ${}\psi _{k}(f)$, ${}f\in R$ , ${}k\in \mathbb {N}$, den Invariantenring.
3. Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.

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