Endliche Gruppenoperation auf Ring/Gemischte symmetrische Funktionen/Erzeugung/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Zu jedem  $k\in \mathbb{N}$  und jedem  $f\in R$  ist der Ausdruck

${\psi }_k(f)=\sum _{T\subseteq G,\mathrm{\#}\left(T\right)=k}\prod _{\sigma \in T}f\sigma$

invariant.

b) Wenn $R$ einen Körper der Charakteristik $0$ enthält, so erzeugen die ${\psi }_k(f)$, $f\in R$ , $k\in \mathbb{N}$, den Invariantenring.

c) Teil b) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.

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