Invariantenringe/Algebra/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

als den Invariantenring (oder Fixring) von unter der Operation von .

Das ist in der Tat wieder ein Ring, ein Unterring von . Die und die sind invariant, da alle als Ringautomorphismen operieren. Ebenso ist mit invarianten Funktionen auch das Negative , deren Summe und deren Produkt invariant.

Bemerkung  

Es sei eine kommutative -Algebra über einem Körper und es sei eine Gruppe, die als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Zu jedem sei also

ein -Algebrahomomorphismus. Dann ist und der Fixring ist selbst eine -Algebra. Zu einer linearen Operation von auf einem -Vektorraum ist die zugehörige Operation von auf dem Polynomring eine Operation als Gruppe von -Automorphismen.




Lemma

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für die Einheiten gilt
  2. Wenn ein Körper ist, so ist auch ein Körper.

Beweis

Siehe Aufgabe.