Invariantenringe/Algebra/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

$R^G=\{f\in R\mid f\sigma =f\text{ für alle }\sigma \in G\}$

als den Invariantenring (oder Fixring) von $R$ unter der Operation von $G$.

Das ist in der Tat wieder ein Ring, ein Unterring von $R$. Die $0$ und die $1$ sind invariant, da alle  $\sigma \in G$  als Ringautomorphismen operieren. Ebenso ist mit invarianten Funktionen  $f,g\in R^G$  auch das Negative $-f$, deren Summe $f+g$ und deren Produkt $fg$ invariant.

Bemerkung  

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra über einem Körper und es sei $G$ eine Gruppe, die als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Zu jedem  $\sigma \in G$  sei also

$\sigma :R⟶R$

ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist  $K\subseteq R^G$  und der Fixring $R^G$ ist selbst eine $K$-Algebra. Zu einer linearen Operation von $G$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ ist die zugehörige Operation von $G$ auf dem Polynomring $K[V]$ eine Operation als Gruppe von $K$-Automorphismen.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für die Einheiten gilt

   ${\left(R^G\right)}^{\times }=R^G\cap R^{\times }.$

2. Wenn $R$ ein Körper ist, so ist auch $R^G$ ein Körper.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$