Invariantenringe/Algebra/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

${}R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

als den Invariantenring (oder Fixring) von ${}R$ unter der Operation von ${}G$.

Das ist in der Tat wieder ein Ring, ein Unterring von ${}R$. Die ${}0$ und die ${}1$ sind invariant, da alle ${}\sigma \in G$ als Ringautomorphismen operieren. Ebenso ist mit invarianten Funktionen ${}f,g\in R^{G}$ auch das Negative ${}-f$, deren Summe ${}f+g$ und deren Produkt ${}fg$ invariant.

Bemerkung  

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra über einem Körper und es sei ${}G$ eine Gruppe, die als Gruppe von ${}K$-Algebraautomorphismen operiere. Zu jedem ${}\sigma \in G$ sei also

$\sigma \colon R\longrightarrow R$

ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist ${}K\subseteq R^{G}$ und der Fixring ${}R^{G}$ ist selbst eine ${}K$-Algebra. Zu einer linearen Operation von ${}G$ auf einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ ist die zugehörige Operation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}K[V]$ eine Operation als Gruppe von ${}K$-Automorphismen.

Lemma

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für die Einheiten gilt

   ${}{\left(R^{G}\right)}^{\times }=R^{G}\cap R^{\times }\,.$

2. Wenn ${}R$ ein Körper ist, so ist auch ${}R^{G}$ ein Körper.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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