Existenz. Wir wenden
Fakt
auf den Grundkörper
und das Polynom
an und erhalten einen Körper
der
Charakteristik
, über dem
in Linearfaktoren zerfällt. Nach
Fakt
gibt es dann einen Unterkörper
von
, der aus genau
Elementen besteht.
Eindeutigkeit. Es seien
und
zwei Körper mit
Elementen. Es sei
ein primitives Element, das nach
Fakt
existiert. Daher ist
,
wobei
das
Minimalpolynom
von
ist. Da
die Ordnung
besitzt, gilt für jede Einheit
und damit überhaupt
für alle
.
D.h., dass jedes Element von
eine Nullstelle von
ist und dass daher
über
in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere
ist, muss das Minimalpolynom
ein Teiler von
sein, also
.
Nun zerfällt
(aus den gleichen Gründen)
das Polynom
auch über
und insbesondere hat
eine Nullstelle
.
Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus
-
Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils

-elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.