Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen  ${}c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}$  für jedes ${}i$. Damit gilt

${}c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.$

Wir schreiben  ${}c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})$  und  ${}b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})$.  Wegen der ${}K$-Linearität der Spur gilt

${}c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.$

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen  ${}C={\left(c_{ik}\right)}$,   ${}B={\left(b_{jm}\right)}$  und  ${}T={\left(t_{ij}\right)}$  als

${}C=T^{\rm {transp}}BT\,$

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.

Zur bewiesenen Aussage