Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheiten/Wirkung/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

1. Es sei  $K=\mathbb{Q}$.  Da ist die Galoisgruppe trivial, die Einheitengruppe ist $\{1,-1\}$ und die Automorphismengruppe der Einheitengruppe ist auch trivial, also liegt eine bijektive Abbildung der trivialen Gruppe in sich vor.
2. Wir betrachten den fünften Kreisteilungsring $R_5$. Es ist  $s=2$  und nach Fakt ist die Einheitengruppe gleich ${\mu }_{10}\times \mathbb{Z}$. Deren Automorphismengruppe enthält die Untergruppe ${(\mathbb{Z}/(5))}^{\times }$, und die natürliche Abbildung bewirkt eine Bijektion mit dieser Untergruppe, die Automorphismengruppe enthält aber auch noch die Negation, die nicht im Bild liegt.
3. Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich zu  $D<-5$.  Nach Fakt ist die Einheitengruppe gleich $\{1,-1\}$ mit trivialer Automorphismengruppe, die Galoisgruppe ist hingegen zweielementig.
4. So was wie $\mathbb{Z}[\sqrt{2},\sqrt{-5}]$. Fundamentaleinheit im Zwischenkörper.

Zur gelösten Aufgabe