Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Einheiten/Wirkung/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

1. Sei ${}K=\mathbb {Q}$. Da ist die Galoisgruppe trivial, die Einheitengruppe ist ${}\{1,-1\}$ und die Automorphismengruppe der Einheitengruppe ist auch trivial, also liegt eine bijektive Abbildung der trivialen Gruppe in sich vor.
2. Wir betrachten den fünften Kreisteilungsring ${}R_{5}$. Es ist ${}s=2$ und nach Fakt ist die Einheitengruppe gleich ${}\mu _{10}\times \mathbb {Z}$. Deren Automorphismengruppe enthält die Untergruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }$, und die natürliche Abbildung bewirkt eine Bijektion mit dieser Untergruppe, die Automorphismengruppe enthält aber auch noch die Negation, die nicht im Bild liegt.
3. Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich zu ${}D<-5$. Nach Fakt ist die Einheitengruppe gleich ${}\{1,-1\}$ mit trivialer Automorphismengruppe, die Galoisgruppe ist hingegen zweielementig.
4. So was wie ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {2}},{\sqrt {-5}}]$. Fundamentaleinheit im Zwischenkörper.

Zur gelösten Aufgabe