Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen ${\mathrm{grad}}_{K}L=n$ und ${\mathrm{grad}}_{L}M=m$. Es sei  $x_1,\dots ,x_n\in L$  eine $K$-Basis von $L$ und  $y_1,\dots ,y_m\in M$  eine $L$-Basis von $M$. Wir behaupten, dass die Produkte

$x_i{y}_j,1\le i\le n,1\le j\le m,$

eine $K$-Basis von $M$ bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum $M$ über $K$ erzeugen. Es sei dazu  $z\in M$.  Wir schreiben

$z=b_1{y}_1+\cdots +b_m{y}_m\text{ mit Koeffizienten }{b}_j\in L.$

Wir können jedes $b_j$ als $b_j=a_{1j}{x}_1+\cdots +a_{nj}{x}_n$ mit Koeffizienten $a_{ij}\in K$ ausdrücken. Das ergibt

$\begin{array}{cc}z& =b_1{y}_1+\cdots +b_m{y}_m\\ & =(a_{11}{x}_1+\cdots +a_{n1}{x}_n)y_1+\cdots +(a_{1m}{x}_1+\cdots +a_{nm}{x}_n)y_m\\ & =\sum _{1\le i\le n,1\le j\le m}{a}_{ij}{x}_i{y}_j.\end{array}$

Daher ist $z$ eine $K$-Linearkombination der Produkte $x_i{y}_j$.
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

$0=\sum _{1\le i\le n,1\le j\le m}{c}_{ij}{x}_i{y}_j$

mit  $c_{ij}\in K$  angenommen. Wir schreiben dies als  $0=\sum _{j=1}^m\left(\sum _{i=1}^n{c}_{ij}{x}_i\right)y_j$.  Da die $y_j$ linear unabhängig über $L$ sind und die Koeffizienten der $y_j$ zu $L$ gehören, folgt, dass  $\sum _{i=1}^n{c}_{ij}{x}_i=0$  ist für jedes $j$. Da die $x_i$ linear unabhängig über $K$ sind und die  $c_{ij}\in K$  sind, folgt  $c_{ij}=0$ 

für alle $i,j$.

Zur gelösten Aufgabe