Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt/Beweis

Beweis

Bei ${}K$ endlich folgt die Aussage sofort aus Fakt, wir können also ${}K$ als unendlich annehmen. Es sei ${}K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist ${}K\subseteq K[x_{1},x_{2}]$ ebenfalls separabel. Es sei also ${}L=K[x,y]$ gegeben und ${}n=\operatorname {grad} _{K}L$. Es sei ${}K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von ${}x$ und von ${}y$ in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß Fakt ${}n$ ${}K$-Einbettungen

$\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\colon L\longrightarrow M.$

Wir betrachten das Polynom

${}P=\prod _{i\neq j}{\left((\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))X+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)\right)}\,,$

das zu ${}M[X]$ gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich ${}0$ ist. Daher besitzt ${}P$ nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da ${}K$ unendlich ist, ein ${}c\in K$ mit ${}P(c)\neq 0$. Die Elemente ${}\sigma _{i}(x+cy)=\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)$ sind alle verschieden. Aus ${}\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)=\sigma _{j}(x)+c\sigma _{j}(y)$ für ${}i\neq j$ folgt nämlich ${}(\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))c+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)=0$, und ${}c$ wäre doch eine Nullstelle von ${}P$. Es gibt also ${}n$ verschiedene Einbettungen von ${}K(x+cy)$ nach ${}M$ und insbesondere ist ${}\operatorname {grad} _{K}K(x+cy)\geq n$, also ist ${}K(x+cy)=L$.

Zur bewiesenen Aussage