Endlicher Körper/(t^q-t,t^q-t)/Gerade/Ableitung ist keine Tangente/Beispiel

Es sei ${}K$ der endliche Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\geq 1$ ist. Die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left(t^{q}-t,\,t^{q}-t\right)$

besitzt den einzigen Bildpunkt ${}\left(0,\,0\right)$. Der formale Ableitungsvektor dieser Parametrisierung ist aber

$\left(-1,-1\right).$

Eine geometrisch konstante Kurve kann also in positiver Charakteristik eine nicht-verschwindende Ableitung besitzen. Der Nullpunkt ist ein glatter Punkt auf sämtlichen Geraden ${}C=V(aX+bY)$. Die Tangente stimmt mit der Geradengleichung überein, diese annulliert aber nur bei ${}a=-b$ den Vektor ${}\left(-1,-1\right)$. In Fakt kann man also nicht auf die Unendlichkeitsvoraussetzung verzichten.