Endlicher Körper/Exponentialfunktionen/Linear unabhängig/Aufgabe/Lösung

1. Nach dem Interpolationssatz kann man jede Abbildung

   $f:K⟶K$

   eindeutig als ein Polynom vom Grad $<q$ schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen $x\mapsto x^d$ linear unabhängig.

2. Wir betrachten die $q\times q$-Matrix

   $(b^d{)}_{0\le b,d\le q-1}.$

   In der $d$-ten Spalte stehen alle Werte (eine vollständige Wertetabelle) von $x^d$ (an den Stellen $b$). Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der $b$-ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis $b$ (an den Stellen $d$). Nach Fakt sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.

Zur gelösten Aufgabe