Endliches Modell/Keine Funktionssymbole/Elementare Äquivalenz/Isomorphie/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{k}\subseteq M$ die elementaren Äquivalenzklassen. Ein Automorphismus muss bijektiv sein und ein Element aus ${}M_{j}$ nach Fakt auf ein Element aus ${}M_{j}$ abbilden. Wir behaupten, dass jede bijektive Abbildung, die diese Bedingung erfüllt, bereits ein Automorphismus ist, also

   ${}\operatorname {Aut} \,M=\operatorname {Perm} \,(M_{1})\times \cdots \times \operatorname {Perm} \,(M_{k})\,.$

   Eine Abbildung aus der Menge rechts führt aber Konstanten in sich und erhält nach Fakt die Relationen. Da es keine Funktionssymbole gibt, handelt es sich bereits um einen Isomorphismus.

2. Es seien ${}M$ und ${}N$ zueinander elementar äquivalent und seien ${}M_{1},\ldots ,M_{k}\subseteq M$ die elementare Äquivalenzklassen von ${}M$. Diese werden nach Fakt durch Ausdrücke ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}$ in einer freien Variablen charakterisiert. Mit Hilfe von ${}\exists x\alpha _{j}$ ergibt sich, dass es in ${}N$ die entsprechenden Äquivalenzklassen ${}N_{1},\ldots ,N_{k}\subseteq N$ gibt. Die Argumente aus Teil (1) zeigen, dass jede Bijektion, die jedes ${}M_{j}$ in das zugehörige ${}N_{j}$ überführt, bereits ein Isomorphismus ist.

Zur gelösten Aufgabe