Endliches Modell/Keine Funktionssymbole/Elementare Äquivalenz/Isomorphie/Aufgabe/Lösung

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  1. Es seien die elementaren Äquivalenzklassen. Ein Automorphismus muss bijektiv sein und ein Element aus nach Fakt auf ein Element aus abbilden. Wir behaupten, dass jede bijektive Abbildung, die diese Bedingung erfüllt, bereits ein Automorphismus ist, also

    Eine Abbildung aus der Menge rechts führt aber Konstanten in sich und erhält nach Fakt die Relationen. Da es keine Funktionssymbole gibt, handelt es sich bereits um einen Isomorphismus.

  2. Es seien und zueinander elementar äquivalent und seien die elementare Äquivalenzklassen von . Diese werden nach Fakt durch Ausdrücke in einer freien Variablen charakterisiert. Mit Hilfe von ergibt sich, dass es in die entsprechenden Äquivalenzklassen gibt. Die Argumente aus Teil (1) zeigen, dass jede Bijektion, die jedes in das zugehörige überführt, bereits ein Isomorphismus ist.