Endomorphismus/Eigenwert/Invariante Hyperebene/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt die Abbildung ${}\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}$ einen nichttrivalen Kern. Sie ist also nicht injektiv und nach Fakt auch nicht surjektiv. Daher ist

${}B:=\operatorname {bild} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V}\right)}\subset V\,$

ein echter Unterraum von ${}V$. Es gibt dann auch einen Untervektorraum ${}U\subset V$ der Dimension ${}n-1$, der ${}B$ enthält. Zu ${}u\in U$ gehört wegen

${}\varphi (u)=\lambda u+(\varphi -\lambda \operatorname {Id} _{V})u\in U+B\subseteq U\,$

das Bild zu ${}U$, d.h. ${}U$ ist ${}\varphi$-invariant.

Zur bewiesenen Aussage