Endomorphismus/Geometrische und algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch ${}w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe gleich ${}(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit mindestens ${}m$ ist.

Zur bewiesenen Aussage