Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir schreiben das charakteristische Polynom zu als

wobei in nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. ist die algebraische Vielfachheit von . Dann sind und teilerfremd und nach Fakt ist dann

und

ist eine Bijektion. Es ist ferner

wobei die Inklusion klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von wegen der eben erwähnten Bijektivität auf keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach Fakt die Beziehung

wobei das charakteristische Polynom zu und das charakteristische Polynom zu ist. Da auf die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu und damit auch das charakteristische Polynom eine Potenz von , sagen wir

wobei

sei. Insbesondere ist somit , da ein Teiler von ist. Bei

müsste eine Nullstelle von sein und wäre ein Eigenwert von . Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass auf diesem Raum eine Bijektion ist.
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