Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben das charakteristische Polynom zu $\phi$ als

${\chi }_{\phi }=(X-\lambda {)}^{k}Q,$

wobei $(X-\lambda )$ in $Q$ nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. $k$ ist die algebraische Vielfachheit von $\lambda$. Dann sind $P=(X-\lambda {)}^k$ und $Q$ teilerfremd und nach Fakt ist dann

$V=\mathrm{kern}P(\phi )\oplus \mathrm{kern}Q(\phi )$

und

$P(\phi )={(\phi -\lambda \mathrm{Id})}^k:\mathrm{kern}Q(\phi )⟶\mathrm{kern}Q(\phi )$

ist eine Bijektion. Es ist ferner

$H:={\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi )=\mathrm{kern}P(\phi ),$

wobei die Inklusion $\supseteq$ klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von $\phi -\lambda \mathrm{Id}$ wegen der eben erwähnten Bijektivität auf $\mathrm{kern}Q(\phi )$ keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach Fakt die Beziehung

${\chi }_{\phi }={\chi }_1\cdot {\chi }_2,$

wobei ${\chi }_1$ das charakteristische Polynom zu $\phi {|}_H$ und ${\chi }_2$ das charakteristische Polynom zu $\phi {|}_{\mathrm{kern}Q(\phi )}$ ist. Da $(\phi -\lambda \mathrm{Id}{)}^k$ auf $H$ die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu $\phi {|}_H$ und damit auch das charakteristische Polynom ${\chi }_1$ eine Potenz von $(X-\lambda )$, sagen wir

${\chi }_1=(X-\lambda {)}^d,$

wobei

$d={\dim }_K\left(H\right)$

sei. Insbesondere ist somit  $d\le k$,  da ${\chi }_1$ ein Teiler von ${\chi }_{\phi }$ ist. Bei  $d<k$ 

müsste $\lambda$ eine Nullstelle von ${\chi }_2$ sein und $\lambda$ wäre ein Eigenwert von $\phi {|}_{\mathrm{kern}Q(\phi )}$. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass $P(\phi )$ auf diesem Raum eine Bijektion ist.

Zur gelösten Aufgabe