Endomorphismus/Potenzfolge/Konvergenz/Eigenvektor oder 0/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}w$ der Grenzvektor. Dann ist

{}\varphi ^{n+1}(v)=\varphi (\varphi ^{n}(v))\,

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Aufgrund der Stetigkeit (nach Fakt) von ${}\varphi$ sind die Limiten (nach Fakt) vertauschbar, also

{}w=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n+1}(v)=\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (\varphi ^{n}(v))=\varphi {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi ^{n}(v)\right)}=\varphi (w)\,.

Daher ist ${}w$ ein Fixpunkt von ${}\varphi$ , also der Nullvektor oder ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ .