Endomorphismus/Potenzfolge/Konvergenz/Eigenvektor oder 0/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $w$ der Grenzvektor. Es ist

${\phi }^{n+1}(v)=\phi ({\phi }^n(v))$

für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Aufgrund der Stetigkeit (nach Fakt) von $\phi$ sind die Limiten (nach Fakt) vertauschbar, also

$w=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\phi }^n(v)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\phi }^{n+1}(v)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\phi ({\phi }^n(v))=\phi (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\phi }^n(v))=\phi (w).$

Daher ist $w$ ein Fixpunkt von $\phi$, also der Nullvektor oder ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$.

Zur bewiesenen Aussage