Epidemiologische Distanz

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Einleitung[Bearbeiten]

Wenn wir die Zeit als Maßstab nehmen, mit der sich eine ansteckende Krankheit räumlich ausbreitet, dann ist das Bewegungsverhalten der Individuen eine entscheidende Größe für die Verbreitung. Wenn es schnelle Flugverbindungen zwischen zwei Orten A und B gibt und viele Personen sich auf dieser Flugverbindung bewegen, dann liegen diese Ort ggf. geographisch weit auseinander, aber epidemiologisch sind die Orte benachbart.

Wegenetze[Bearbeiten]

Wegenetze beschreiben die Verbindung zwischen Punkten im Raum. Diese können auch als Image-Map webbasiert zugänglich gemacht werden. Ein Klick auf eine Bildelement folgt einer Verbindung zwischen einer Webseite zu einer anderen Webseite (Links sind ungewichtete gerichtete Verbindungen zwischen Webseiten. So gesehen erzeugt man mit Links ein digitales Wegenetz.

Digitales Wegenetze[Bearbeiten]

Wegenetze

Wegenetze digital abbilden.

Kapazität von Wegen[Bearbeiten]

Wege zwischen zwei Punkten können eine unterschiedliche Breite haben und die Bewegung mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ermöglichen. Betrachten Sie in der folgenden Abbildung gerichtet Wege auf den Treppen. Haben beide Wegrichtung die gleiche Kapazität (Trepper herauf, Treppe herab)? Wie kann man die Kapazität der Wege messen und sinnvoll einer Verbindung zuordnen?

Abbildung zur Kapazität von Wegen[Bearbeiten]

Wegenetz 1

Kapazität von Wegen im Wegenetz.

Konnektivitätsnetze Personen[Bearbeiten]

Die Konnektivität zwischen Personen und Peronengruppen kann auch durch Graphen beschrieben werden. Die gewichtete Verbindung zwischne den Personen beschreibt die Intensität der Verbindung. Das Gewicht 0 zwischen einer Verbindung repräsentiert, dass die Personen nicht verbunden sind (d.h. sie begegnen sich nicht). Diese Konnektivität von Personen entspricht nicht der räumlichen Distanz. Zwei Personen, die jeweils in getrennten direkt benachbarten Büros sitzen und sich weder auf dem Gang treffen noch privat Kontakt haben, sind ggf. weniger epidemiologisch verbunden, als zwei Personen die einem Großraumbüro miteinander arbeiten und die gleiche räumliche Distanz zwischen sich haben.

Norm, Metrik, Topologie[Bearbeiten]

Solche topologischen Beziehungen zwischen Punkten können durch Metriken beschrieben werden (Wiki2Reveal-Audio-Präsentation).

Aufgabe für Lernende[Bearbeiten]

  • Definieren Sie eine Metrik auf einem Graphen! Zeigen, Sie dass die Eigenschaften einer Metrik erfüllt sind!
  • Begründen Sie, warum epidemiologischen Distanzen zwischen Mumbai und Melbourne ggf. kleiner sind als von Melbourne zu einem weit abgelegenen Ort im Outback von Australien.

Graphen[Bearbeiten]

Mit Graphen kann man den Raum diskretisieren und auf eine endliche Menge von Knoten und den Verbindungen zwischen Knoten beschränken. Die Verbindungen können gerichtet und ungerichtet sein. Gerichtete Verbindung können zusätzliche Kantengewichte zugeordnet werden, die z.B. die Transportkapazität der Verbindung repräsentieren (4-spurige Autobahn im Vergleich zu einer 6-spurigen Autobahn). Allgemein kann man Graphen verwenden um Wegnetze zu kodieren (z.B. U-Bahnnetze, Flugnetze)

Ungerichtete Graphen[Bearbeiten]

Bei ungerichteten Graphen kommt es nur auf darauf an, ob eine Verbindung von einem Knoten zum anderen existiert. In dieser folgenden Definition sind auch Verbindung von einem Knoten zu sich selbst in einem ungerichteten Graphen zulässig.

Abbildung: ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Ungerichteter Graph mit 6 Knoten:

Ungerichteter Graph mit sechs Knoten

Definition: Ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Sei eine Menge von Knoten (engl. vertex) und eine Mengen ungerichteten Knotenverbindungen/Kantenmenge (engl. edges) zwischen den Knoten aus der Menge e, dann nennt man einen ungerichteten Graphen.

Beispiel: ungerichteter Graph[Bearbeiten]

Sei eine Menge von Knoten (engl. vertex) und . Zeichnen Sie den ungerichteten Graphen.

Gerichtete Graphen[Bearbeiten]

Bei gerichteten Graphen wird die Richtung zwischen zwei Knoten im Graphen berücksichtigt. In einem ungerichteten Graphen bezeichnet und die gleiche Verbindung (engl. edge), während in einem gerichteten Graphen und als Tupel unterschiedliche Richtungen kodieren. ist die Verbindung von nach , während die Verbindung von nach kodiert.

Definition: Gerichteter Graph[Bearbeiten]

Sei eine Menge von Knoten (engl. vertex) und eine Mengen Knotenverbindungen/Kantenmenge (engl. edges), dann nennt man einen gerichteten Graphen.

Beispiel: gerichteter Graph[Bearbeiten]

Sei eine Menge von Knoten (engl. vertex) und . Zeichnen Sie den gerichteten Graphen.

Vom Graph zur formalen Beschreibung[Bearbeiten]

Geben Sie zu dem Folgenden gerichteten Graphen die Mengen und konkret an.
gerichteter zyklischer Graph

Vereinigung von zwei gerichteten Graphen[Bearbeiten]

Zu zwei Graphen und mit disjunkten Knotenmengen und nennt man den Graphen mit der Knotenmenge und der Kantenmenge die disjunkte Vereinigung der Graphen und .

Gerichtete gewichteter Graphen[Bearbeiten]

Bei gerichteten gewichteten Graphen wird nicht nur die Richtung zwischen zwei Knoten im Graphen berücksichtigt, sondern diese gerichteten Verbindung auch eine reelle Zahl zugeordnet. In einem gerichteten Graphen bezeichnet als Verbindung (engl. edge) zwischen den Knoten und wird eine Gewichtung mit einer Funktion

In der Regel verwendet man als Definitionsbereich von die Menge bildet nicht vorhandene gerichtete Verbindungen auf 0 ab.

Einordnung in die Mathematik[Bearbeiten]

Die Graphentheorie (seltener auch Grafentheorie) ist ein Teilgebiet der diskreten Mathematik und der theoretischen Informatik. Betrachtungsgegenstand der Graphentheorie sind Graphen (Mengen von Knoten und Kanten), deren Eigenschaften und ihre Beziehungen zueinander.

Anwendungsgebiete[Bearbeiten]

Graphen sind mathematische Modelle für netzartige Strukturen in Natur und Technik (wie soziale Strukturen, Straßennetze, Computernetze, elektrische Schaltungen, Versorgungsnetze oder chemische Moleküle). In der Graphentheorie untersucht man lediglich die abstrakte Netzstruktur an sich. Die Art, Lage und Beschaffenheit der Knoten und Kanten bleibt unberücksichtigt. Für die Epidemiologie werden Graphen für Transportnetze und für die Konnektivität zwischen Personen und Orten verwendet.

Grapheneigenschaften[Bearbeiten]

Es verbleiben jedoch viele allgemeingültige Graphen-Eigenschaften, die bereits auf dieser Abstraktionsstufe untersucht werden können und sich in allgemeingültigen Aussagen (Sätze der Graphentheorie) wiederfinden.[1] Ein Beispiel hierfür ist das Handschlaglemma, wonach die Summe der Knotengrade in einem Graphen stets gerade ist.

Algorithmen auf Graphen[Bearbeiten]

Weil einerseits viele algorithmische Probleme auf Graphen zurückgeführt werden können und andererseits die Lösung graphentheoretischer Probleme oft auf Algorithmen basiert, ist die Graphentheorie auch in der Informatik, insbesondere der Komplexitätstheorie, von großer Bedeutung. Die Untersuchung von Graphen ist auch Inhalt der Netzwerktheorie. Graphen werden insbesondere durch die Datenstrukturen Adjazenzmatrix, Inzidenzmatrix oder Adjazenzliste repräsentiert.

Graphen in der Epidemiologie[Bearbeiten]

In der Epidemiologie geht es um die Konnektivität von Personen und Orten, denn die Konnektivität bestimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit zwischen den Knoten im Netz.

  • Flughäfen als Knoten und Fluglinien als Verbindung und die Transportkapaziät als Gewichtung auf den Verbindungen.
  • Personen als Knoten und die gewichtete Verbindung zwischen den Personen. Zwischen Personen unterschiedlicher immunologischem Status besteht eine gerichtete Verbindung. Warum?

Geschichte[Bearbeiten]

Die Ursprünge und Vorläufer der Graphentheorie kann man bis in die Antike zurückverfolgen.

Antike[Bearbeiten]

Ein von der Graphentheorie unabhängiger Vorläufer in der Antike war die Methode Dihairesis, mit deren Hilfe man (nur teilweise grafisch) zoologische, musikwissenschaftliche und andere Begriffe hierarchisierte. Es entstanden so frühe Systematiken innerhalb verschiedener Wissensgebiete.

Euler 1 - Anfänge Graphentheorie[Bearbeiten]

Die Anfänge der Graphentheorie gehen bis in das Jahr 1736 zurück. Damals publizierte Leonhard Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem. Die Frage war, ob es einen Rundgang durch die Stadt Königsberg (Preußen) gibt, der jede der sieben Brücken über den Fluss Pregel genau einmal benutzt. Euler konnte eine für dieses Problem nicht erfüllbare notwendige Bedingung angeben und so die Existenz eines solchen Rundganges verneinen.

Euler 2 - Brückenproblem als Karte[Bearbeiten]

Das Königsberger Brückenproblem im Stadtplan…

Euler 3 - Brückenproblem als Graph[Bearbeiten]

Das Königsberger Brückenproblem abstrakt als Graph (Orte durch Knoten, Brücken durch Kanten repräsentiert)


Guthrie 1 - Färbungsproblem[Bearbeiten]

1852 bemerkte der Mathematiker und Botaniker Francis Guthrie, dass vier Farben reichen, um eine Landkarte so zu färben, dass zwei aneinander grenzende Länder stets unterschiedlich gefärbt sind. Viele Mathematiker beschäftigten sich mit diesem Färbungsproblem.

Guthrie 2 - Färbungsproblem - Beweis[Bearbeiten]

Es dauerte jedoch bis 1976 bis der Vier-Farben-Satz mittels Computer bewiesen werden konnte.[2] Erst 1997 stellten Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas einen neuen Beweis vor.[3]

Ursprung der Bezeichnung Graph[Bearbeiten]

Der Begriff Graph wurde in Anlehnung an graphischen Notationen chemischer Strukturen erstmals 1878 von dem Mathematiker James Joseph Sylvester verwendet.[4] Als weiterer Begründer der frühen Graphentheorie gilt Arthur Cayley. Eine der ersten Anwendungen waren chemische Konstitutionsformeln.[5][6] (Siehe auch Chemische Graphentheorie und Literatur: Bonchev/Rouvray, 1990). Das erste Lehrbuch zur Graphentheorie erschien 1936 von Dénes Kőnig.[7]

In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts hat William Thomas Tutte maßgeblich an der Weiterentwicklung der Graphentheorie gearbeitet und dieses Teilgebiet der Mathematik stark geprägt.

Teilgebiete der Graphentheorie[Bearbeiten]

Teilgebiete der Graphentheorie sind:

Teilgebiete der Graphentheorie 2[Bearbeiten]

Teilgebiete der Graphentheorie 3[Bearbeiten]

Spektrale Graphentheorie (auch algebraische Graphentheorie): Die spektrale Graphentheorie untersucht Graphen anhand ihrer Adjazenzmatrizen und Laplace-Matrizen durch die Analyse von Eigenwerten, Eigenvektoren und charakteristischen Polynomen. Ungerichtete Graphen besitzen symmetrische Adjazenzmatrizen und deshalb reelle Eigenwerte. Alle Eigenwerte zusammengenommen werden als Spektrum des Graphen bezeichnet. Während die Adjazenzmatrix von der Knotensortierung abhängig ist, ist das Spektrum davon unabhängig.

Graphen und Vektorräume[Bearbeiten]

Im Kontext der Epidemiologie kann man in der Graphentheorie auch Knoten mit Orten im euklidischen Vektorraum miteinander verbinden, indem man in einem Graph mit jedem Knoten auch Ortskoordinaten zuordnet. Damit können sich sich Personen sowohl in einem euklischen Raum bewegen als auch im Graphen über die Menge der Kanten. Eine gerichtete Kante ist hierbei eine Verbindung von zwei Knoten im Graph. Aber gleichzeitig verbindet der Graph auch entfernte Punkt im Vektorraum.

Beispiel für die Verbindung von Graph und Vektorraum[Bearbeiten]

Sind und zwei Vektoren in der Ebene zwischen den man einen Euklischen Abstand mit einer Norm über berechnen kann. Gleichzeitig betrachtet man diese als Knoten miteinander über die Verbindung bzw. in Beziehung stehen. , bzw. ob sie in der bildlichen Darstellung des Graphen verbunden sind.

Konnektivität herstellen - Veränderung im Graph[Bearbeiten]

Konnektivität und Brücken

Nachbarschaft[Bearbeiten]

Zwei Knoten, die durch eine Kante verbunden sind, heißen benachbart oder adjazent. Wenn die Kanten statt durch Mengen durch geordnete Paare von Knoten angegeben sind, spricht man von gerichteten Graphen. In diesem Falle unterscheidet man zwischen der Kante (a,b) – als Kante von Knoten a zu Knoten b – und der Kante (b,a) – als Kante von Knoten b zu Knoten a. Knoten und Kanten können auch mit Farben (formal mit natürlichen Zahlen) oder Gewichten (d. h. rationalen oder reellen Zahlen) versehen werden. Man spricht dann von knoten- bzw. kantengefärbten oder -gewichteten Graphen.

Komplexere Graphentypen sind:

  • Multigraphen, bei denen die Kantenmenge eine Multimenge ist
  • Hypergraphen, bei denen eine Kante eine beliebig große Menge von Knoten darstellt (man spricht in diesem Falle auch von Hyperkanten)
  • Petri-Netze mit zwei Arten von Knoten

Ist die Menge der Knoten endlich, spricht man von endlichen Graphen, ansonsten von unendlichen Graphen.

Grapheigenschaften[Bearbeiten]

Zusammenhangskomponenten

Graphen können verschiedene Eigenschaften haben. So kann ein Graph

Es kann nach der Existenz spezieller Teilgraphen oder Minoren gefragt werden oder bestimmte Parameter untersucht werden, wie zum Beispiel Knotenzahl, Kantenzahl, Minimalgrad, Maximalgrad, Taillenweite, Durchmesser, Knotenzusammenhangszahl, Kantenzusammenhangszahl, Bogenzusammenhangszahl, chromatische Zahl, Knotenüberdeckungszahl (Faktor), Unabhängigkeitszahl (Stabilitätszahl) oder Cliquenzahl. Zwei Graphen können isomorph (strukturell gleich) oder automorph zueinander sein.

Die verschiedenen Eigenschaften können zueinander in Beziehung stehen. Die Beziehungen zu untersuchen ist eine Aufgabe der Graphentheorie. Beispielsweise ist die Knotenzusammenhangszahl nie größer als die Kantenzusammenhangszahl, welche wiederum nie größer als der Minimalgrad des betrachteten Graphen ist. In ebenen Graphen ist die Färbungszahl immer kleiner als fünf. Diese Aussage ist auch als der Vier-Farben-Satz bekannt.

gerichteter zyklischer Graph

Einige der aufgezählten Grapheneigenschaften sind relativ schnell algorithmisch bestimmbar, etwa wenn der Aufwand höchstens mit dem Quadrat der Größe der Graphen wächst. Andere Eigenschaften praktisch angewandter Graphen sind innerhalb der Lebensdauer heutiger Computer nicht exakt zu bestimmen. Allerdings kann in diesen Fällen der Einsatz von heuristischen Verfahren zu sinnvollen Näherungslösungen führen.

Graphenklassen[Bearbeiten]

Bipartiter Graph

Grundsätzlich werden Graphen in gerichtete und ungerichtete Graphen unterteilt.

Aufgrund des Zusammenhangs unterscheidet man:

Aufgrund des Vorhandenseins bestimmter Eigenschaften lassen sich weitere Graphenklassen unterscheiden wie

Wenn ein Knoten besonders ausgezeichnet ist, spricht man von einer Wurzel bzw. einem gewurzeltem Graphen. Besondere Bedeutung haben gewurzelte Bäume unter anderem auch als Baumstruktur.

Probleme[Bearbeiten]

Die wichtigsten Probleme und Ergebnisse der Graphentheorie werden im Folgenden dargestellt:

Graphfärbung

Färbung[Bearbeiten]

Ein bekanntes Problem fragt, wie viele Farben man braucht um die Länder einer Landkarte einzufärben, sodass keine zwei benachbarten Länder die gleiche Farbe zugewiesen bekommen. Die Nachbarschaftsbeziehung der Länder kann man als planaren Graph repräsentieren. Das Problem kann nun als Knoten-Färbungsproblem modelliert werden. Nach dem Vier-Farben-Satz braucht man maximal vier verschiedene Farben. Ob sich im Allgemeinen ein Graph mit weniger Farben einfärben lässt, kann man nach heutigem Wissensstand nicht effizient entscheiden. Das Problem gilt als eines der schwierigsten Probleme in der Klasse der NP-vollständigen Probleme. Unter der Voraussetzung, dass PNP, ist selbst eine bis auf einen konstanten Faktor angenäherte Lösung nicht effizient möglich.

Suchprobleme[Bearbeiten]

Eine wichtige Anwendung der algorithmischen Graphentheorie ist die Suche nach einer kürzesten Route zwischen zwei Orten in einem Straßennetz. Dieses Problem kann man als Graphenproblem modellieren. Hierzu abstrahiert man das Straßennetz, in dem man alle Orte als Knoten aufnimmt, und eine Kante hinzufügt, wenn es eine Verbindung zwischen diesen Orten gibt. Die Kanten dieses Graphen werden je nach Anwendung gewichtet, zum Beispiel mit der Länge der assoziierten Verbindung. Mit Hilfe eines Algorithmus zum Finden von kürzesten Pfaden (beispielsweise mit dem Algorithmus von Dijkstra) kann eine kürzeste Verbindung effizient gefunden werden. (siehe auch: Graphsuchalgorithmen)

Handlungsreisendenproblem

Durchlaufbarkeit von Graphen[Bearbeiten]

Algorithmisch deutlich schwieriger ist die Bestimmung einer kürzesten Rundreise (siehe Problem des Handlungsreisenden), bei der alle Orte eines Straßennetzes genau einmal besucht werden müssen. Da die Zahl der möglichen Rundreisen faktoriell mit der Zahl der Orte wächst, ist der naive Algorithmus, alle Rundreisen auszuprobieren und die kürzeste auszuwählen, für praktische Anwendungen nur für sehr kleine Netzwerke praktikabel. Es existieren für dieses Problem eine Reihe von Approximationsalgorithmen, die eine gute aber nicht eine optimale Rundreise finden. So liefert die Christofides-Heuristik eine Rundreise die maximal 1,5-mal so lang ist wie die bestmögliche. Unter der Annahme, dass PNP (siehe P-NP-Problem), existiert kein effizienter Algorithmus für die Bestimmung einer optimalen Lösung, da dieses Problem NP-schwer ist.

Das Königsberger Brückenproblem fragt nach der Existenz eines Eulerkreises. Während sich das Eulerkreisproblem mittels Hierholzer-Verfahren in linearer Zeit lösen lässt, ist das Finden eines Hamiltonkreises (ein geschlossener Pfad in einem Graphen, der jeden Knoten genau einmal enthält) NP-schwierig. Beim Briefträgerproblem wird nach nach einem kürzesten Zyklus gefragt, der alle Kanten mindestens einmal durchläuft.

Zusammenhang[Bearbeiten]

Beim Zusammenhang wird gefragt, ob bzw. über wie viele Wege zwei Knoten untereinander erreichbar sind. Dies spielt beispielsweise bei der Beurteilung der Versorgungsnetze hinsichtlich der kritischen (ausfallbedrohten Teile) eine Rolle.

Graph mit Cliquen

Cliquenproblem[Bearbeiten]

Die Frage nach dem Vorhandensein (ggf. maximaler) Cliquen sucht die Teile eines Graphen, die untereinander vollständig mit Kanten verbunden sind.

Knotenüberdeckung[Bearbeiten]

Das Knotenüberdeckungsproblem sucht nach einer Teilmenge von Knoten eines Graphen, die von jeder Kante mindestens einen Endknoten enthält.

Flüsse und Schnitte in Netzwerken[Bearbeiten]

Mit der Frage nach dem maximalen Fluss lassen sich Versorgungsnetze hinsichtlich ihrer Kapazität beurteilen.

Matching im bipartiten Graphen

Matching[Bearbeiten]

Matchingprobleme, die sich auf Flussprobleme zurückführen lassen, fragen nach der optimalen Auswahl von Kanten, so dass keine zwei Kanten inzident zu einem Knoten sind. Damit lassen sich Zuordnungsprobleme, beispielsweise der Ressourcennutzung wie Raum- oder Maschinenbelegung lösen.

Weitere Graphenprobleme[Bearbeiten]

Zu den weiteren Graphenproblemen zählen

Literatur[Bearbeiten]

  • Martin Aigner: Graphentheorie: eine Entwicklung aus dem 4-Farben-Problem. 1984 (269 Seiten).
  • Daniel Bonchev, D. H. Rouvray: Chemical Graph Theory: Introduction and Fundamentals. Abacus, New York NY 1990/1991, ISBN 0-85626-454-7.
  • J. Sedlacek: Einführung in die Graphentheorie. B. G. Teubner, Leipzig 1968, 1972.
  • M. Nitzsche: Graphen für Einsteiger (Rund um das Haus vom Nikolaus). Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-03215-4.
  • R. Diestel: Graphentheorie. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2005, ISBN 3-540-67656-2 (online-download).
  • Peter Gritzmann, René Brandenberg: Das Geheimnis des kürzesten Weges. Ein mathematisches Abenteuer. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 3-540-00045-3.
  • Peter Tittmann: Graphentheorie. Eine anwendungsorientierte Einführung. 3 Auflage. Hanser, München 2019, ISBN 978-3-446-46052-2

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Tittmann, Peter: Graphentheorie Eine anwendungsorientierte Einführung. 3., aktualisierte Auflage. München, ISBN 978-3-446-46052-2, S. 1.
  2. Tittmann, Peter: Graphentheorie Eine anwendungsorientierte Einführung. 3., aktualisierte Auflage. München, ISBN 978-3-446-46052-2, S. 76.
  3. Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas: The Four-Colour Theorem. In: Journal of Combinatorial Theory, Series B. Band 70, Nr. 1, 1997, ISSN 0095-8956, S. 2–44.
  4. James Joseph Sylvester: Chemistry and Algebra. In: Nature. Band 17, 1878, S. 284.
  5. Norman L. Biggs, E. Keith Lloyd, Robin J. Wilson: Graph Theory 1736–1936. Oxford University Press, 1999, ISBN 0-19-853916-9.
  6. Arthur Cayley: Chemical Graphs. In: Philosophical Magazine. Band 47, 1874, S. 444–446.
  7. Dénes Kőnig: Theorie der Endlichen und Unendlichen Graphen: Kombinatorische Topologie der Streckenkomplexe. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1936.

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Siehe auch[Bearbeiten]

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