Euklidischer Halbraum/Einführung/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt

Definition

Unter dem euklidischen Halbraum der Dimension ${}n$ versteht man die Menge

${}H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0\right\}}\,$

mit der induzierten Topologie.

Bei ${}n=0$ ist dies ein Punkt, bei ${}n=1$ ist dies das Intervall ${}[0,\infty ]$, bei ${}n=2$ handelt es sich um eine Halbebene, und bei ${}n=3$ um einen Halbraum. Wenn man statt ${}1$ einen anderen Koordinatenindex oder „${}\leq$“ statt „${}\geq$ “ nimmt, so nennt man auch diese Objekte Halbräume. Da ein Halbraum ${}H$ abgeschlossen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist, ist eine Teilmenge ${}T\subseteq H$ genau dann abgeschlossen in ${}H$, wenn sie abgeschlossen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist. Diese Äquivalenz gilt nicht für offene Mengen. Beispielsweise ist der Gesamtraum ${}H$ in ${}H$ offen, aber nicht im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Die Menge

${}\partial H={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}=0\right\}}\,$

gehört zu ${}H$ und heißt der Rand von ${}H$. Er ist homöomorph zu ${}\mathbb {R} ^{n-1}$ (was bei ${}n=0$ als leer zu interpretieren ist). Mit ${}H_{+}$ bezeichnet man die positive Hälfte, also ${}H_{+}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}>0\right\}}$, die eine offene Teilmenge im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Die Halbräume bilden die Standardmodelle für die Mannigfaltigkeiten mit Rand, die wir jetzt einführen wollen. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung des Mannigfaltigkeitsbegriffes. Ein typisches Beispiel für eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist die abgeschlossene Vollkugel; ihr Rand ist die Sphäre. Ein Punkt im Innern der Kugel besitzt eine kleinere offene Kugelumgebung, in einem solchen Punkt sieht es also „lokal“ so aus wie im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Ein Punkt auf dem Rand der Kugel besitzt nicht eine solche Umgebung, sondern in jeder offenen Umgebung davon ist der Rand gegenwärtig; ein solcher Randpunkt sieht lokal wie ein Randpunkt eines euklidischen Halbraumes aus.

Die Karten einer Mannigfaltigkeit mit Rand werden offene Mengen in einem Halbraum sein. Für die Übergangsabbildungen müssen wir daher von differenzierbaren Abbildungen, die auf Halbräumen definiert sind, sprechen können. Dies ermöglicht die folgende Definition.

Definition

Es sei ${}U\subseteq H$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Halbraum ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}P\in U$ sei ein Punkt und es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ stetig differenzierbar in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine stetig differenzierbare Funktion

${\tilde {\varphi }}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

mit ${}{\tilde {\varphi }}{|}_{U\cap V}=\varphi {|}_{U\cap V}$ gibt.

Der neue Differenzierbarkeitsbegriff wird also auf den alten zurückgeführt. Für eine offene Menge ${}U\subseteq H$, die den Rand von ${}H$ nicht trifft, ist dies gleichbedeutend mit der Definition für eine offene Menge im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Mit dieser Strategie, Begriffe für Randpunkte über die Existenz von offenen Umgebungen mit fortgesetzten Objekten zu definieren, übertragen sich viele wichtige Konzepte auf die neue allgemeinere Situation, was wir nicht immer im Einzelnen ausführen werden. Beispielsweise ist klar, was ein Diffeomorphismus von offenen Mengen im Halbraum und was das totale Differential einer differenzierbaren Abbildung ist. Auch die Definition einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist vor diesem Hintergrund nicht überraschend.