Euklidischer Raum/Abstand zu Hyperfläche/Linearform/Fakt

Es sei  ${}a\in \mathbb {R} ^{n}$  ein Vektor mit  ${}\Vert {a}\Vert =1$  und

${}U={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}=(\mathbb {R} a)^{\perp }\,$

der durch ${}a$ als Normalenvektor definierte Untervektorraum.

Dann ist für einen Vektor  ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$  der Abstand zu ${}U$ gleich

${}d(U,v)=\vert {\left\langle a,v\right\rangle }\vert \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen