Sei
mit dem
Standardskalarprodukt
versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum
zum Standardvektor
besteht das
orthogonale Komplement
aus allen Vektoren
, deren
-ter Eintrag
ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum
zu einem Vektor
-
![{\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add561d02ef2dee8c0edf680f2f682efab04e88d)
kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der
linearen Gleichung
-
![{\displaystyle {}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4815cdd1cef979c09478f84cf91d66fd4f76a1)
bestimmt. Der Orthogonalraum
-
![{\displaystyle {}U=(\mathbb {R} v)^{\perp }={\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4557b0c62c5528696fcda9b0d3fbbb73c04fbf6a)
besitzt die Dimension
, es handelt sich also um eine sogenannte
Hyperebene.
Man nennt dann
einen Normalenvektor für die Hyperebene
.
Zu einem Untervektorraum
,
der durch eine
Basis
(oder ein
Erzeugendensystem)
,
,
gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des
linearen Gleichungssystems
-
![{\displaystyle {}A{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef149f230c735961829a97d75ac9dea60f809f38)
wobei
die aus den
gebildete Matrix ist.