Euklidischer Raum/Abstand zu Hyperfläche/Linearform/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $a,u_2,\dots ,u_n$ eine Orthonormalbasis von ${ℝ}^n$ und

$v=\lambda a+\sum _{i=2}^n{c}_i{u}_i.$

Dann ist

$p_U(v)=\sum _{i=2}^n{c}_i{u}_i$

und nach Fakt ist

$d(U,v)=\Vert v-p_U(v)\Vert =\Vert \lambda a\Vert =|\lambda |\Vert a\Vert =|\lambda |,$

was in Verbindung mit

$⟨a,v⟩=⟨a,\lambda a+\sum _{i=2}^n{c}_i{u}_i⟩=⟨a,\lambda a⟩=\lambda$

das Resultat liefert.

Zur bewiesenen Aussage