Euklidischer Raum/Abstand zu Hyperfläche/Linearform/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}a,u_{2},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ und

${}v=\lambda a+\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\,.$

Dann ist

${}p_{U}(v)=\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\,$

und nach Fakt ist

${}d(U,v)=\Vert {v-p_{U}(v)}\Vert =\Vert {\lambda a}\Vert =\vert {\lambda }\vert \Vert {a}\Vert =\vert {\lambda }\vert \,,$

was in Verbindung mit

${}\left\langle a,v\right\rangle =\left\langle a,\lambda a+\sum _{i=2}^{n}c_{i}u_{i}\right\rangle =\left\langle a,\lambda a\right\rangle =\lambda \,$

das Resultat liefert.

Zur bewiesenen Aussage