Euklidischer Vektorraum/Limes einer Abbildung/Komponentenweise/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  $T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  $a\in M$  ein Berührpunkt von $T$. Es sei

$f:T⟶V$

eine Abbildung in einen euklidischen Vektorraum $V$ mit den Komponentenfunktionen

$f_1,\dots ,f_n:T⟶ℝ$

bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass der Limes

${\lim }_{x\to a}f(x)$

genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten

${\lim }_{x\to a}{f}_j(x)$

existieren.

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