Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für $i = 1$ muss man lediglich $v_{1}$ normieren, also durch

u_{1} = \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖}

ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren $u_{1}, \dots, u_{i}$ mit $⟨ u_{1}, \dots, u_{i} ⟩ = ⟨ v_{1}, \dots, v_{i} ⟩$ bereits konstruiert. Wir setzen

w_{i + 1} = v_{i + 1} - ⟨ v_{i + 1}, u_{1} ⟩ u_{1} - \dots - ⟨ v_{i + 1}, u_{i} ⟩ u_{i} .

Dieser Vektor steht senkrecht auf allen $u_{1}, \dots, u_{i}$ und offenbar ist $⟨ u_{1}, \dots, u_{i}, w_{i + 1} ⟩ = ⟨ v_{1}, \dots, v_{i}, v_{i + 1} ⟩$ .

Durch Normieren von

w_{i + 1}

erhält man

u_{i + 1}

.

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