Beweis
Die Positivität der
Determinante
der
Gramschen Matrix
folgt aus
Fakt.
Es sei
eine
Orthonormalbasis
von
und es sei
-
![{\displaystyle {}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a7a2ada69b9332393d51e0d05bd39f047f31c9)
Die Spalten der Matrix
sind also die Koeffizienten von
bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach
Fakt
und aufgrund der Definition des Maßes
in
Fakt
ist somit
-
![{\displaystyle {}\lambda _{V}(P)=\vert {\det A}\vert \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa5a798c9e9b55de5a9f072d6880fbdd25df999)
Wegen
-
![{\displaystyle {}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},\sum _{k=1}^{n}a_{kj}u_{k}\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{ki}a_{kj}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f90f51553f04617c29eb35246d4ddc87b6d898)
ist
-
![{\displaystyle {}{A^{\text{tr}}}A=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{ij}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60b8c34396c3a17ea4af90dd5e440fd8b672ba3)
Nach
Fakt
ist
,
so dass sich die Aussage aus
Fakt
ergibt.