Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Positivität der Determinante der Gramschen Matrix folgt aus Fakt. Es sei eine Orthonormalbasis von und es sei

Die Spalten der Matrix sind also die Koeffizienten von bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis. Nach Fakt und aufgrund der Definition des Maßes in Fakt ist somit

Wegen

ist

Nach Fakt ist , so dass sich die Aussage aus Fakt ergibt.