Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt/Beweis

Beweis

Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von Fakt ist  $\ln {}^{\prime }(1)=1$.  Dies bedeutet aufgrund der Definition des Differentialquotienten insbesondere

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1.$

Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als $n\cdot \ln (1+\frac{1}{n})$ und wenden darauf die Exponentialfunktion an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der Stetigkeit und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion die Gleichungskette

$\begin{array}{cc}\exp 1& =\exp \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n\cdot \ln (1+\frac{1}{n}))\right)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\exp (n\cdot \ln (1+\frac{1}{n}))\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n\\ & =e.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage