Extrema/x^2+3xy-y^3/Verhalten auf Geraden/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
  1. Es ist

    Um die kritischen Punkte zu finden setzt man diese beiden Funktionen gleich . Das bedeutet

    und

    Es ist also

    und daher gibt es die beiden kritischen Punkte

    Die Hesse-Matrix ist

    In ist dies

    wobei der erste Minor und die Determinante ist. Also liegt nach Fakt kein lokales Extremum vor. In ist die Hesse-Matrix

    die Minoren sind und daher ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Minimum vor, das auch ein globales Minimum ist.

  2. Da in ein globales Minimum vorliegt, gilt dies auch für die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch diesen Punkt. Betrachten wir also den Nullpunkt . Eine Gerade durch diesen Punkt wird durch

    mit , , beschrieben. Die eingeschränkte Funktion auf eine solche Gerade ist durch

    gegeben. Die Ableitungen davon sind

    und

    Im Nullpunkt ist dabei

    und

    Bei und liegt längs dieser Geraden ein lokales Minimum vor. Ebenso bei und . Bei und und bei und liegt ein lokales Maximum vor. Bei ist , die beiden ersten Ableitungen sind und die dritte nicht, daher liegt nach Fakt kein lokales Extremum vor. Bei und liegt aus dem gleichen Grund kein lokales Extremum vor.