Extrema/x^2+3xy-y^3/Verhalten auf Geraden/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+3y\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}=3x-3y^{2}.$

   Um die kritischen Punkte zu finden setzt man diese beiden Funktionen gleich ${}0$. Das bedeutet

   ${}x=y^{2}\,$

   und

   ${}2y^{2}+3y=y(2y+3)=0\,.$

   Es ist also

   $y=0\,\,{\text{ oder }}\,\,y=-{\frac {3}{2}}$

   und daher gibt es die beiden kritischen Punkte

   $P_{1}=\left(0,\,0\right)\,\,{\text{ und }}\,\,P_{2}=\left({\frac {9}{4}},\,-{\frac {3}{2}}\right).$

   Die Hesse-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}2&3\\3&-6y\end{pmatrix}}.$

   In ${}P_{1}$ ist dies

   ${\begin{pmatrix}2&3\\3&0\end{pmatrix}},$

   wobei der erste Minor ${}2$ und die Determinante ${}-9$ ist. Also liegt nach Fakt kein lokales Extremum vor. In ${}P_{2}$ ist die Hesse-Matrix

   ${\begin{pmatrix}2&3\\3&9\end{pmatrix}},$

   die Minoren sind ${}1,2,9$ und daher ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Minimum vor, das auch ein globales Minimum ist.

2. Da in ${}P_{2}$ ein globales Minimum vorliegt, gilt dies auch für die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch diesen Punkt. Betrachten wir also den Nullpunkt ${}P_{1}$. Eine Gerade durch diesen Punkt wird durch

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at,\,bt\right),$

   mit ${}(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$, ${}(a,b)\neq (0,0)$, beschrieben. Die eingeschränkte Funktion auf eine solche Gerade ist durch

   ${}g(t)=a^{2}t^{2}+3abt^{2}-b^{3}t^{3}\,$

   gegeben. Die Ableitungen davon sind

   ${}g'(t)=2a^{2}t+6abt-3b^{3}t^{2}\,,$

   ${}g^{\prime \prime }(t)=2a^{2}+6ab-6b^{3}t\,.$

   und

   ${}g^{\prime \prime \prime }(t)=-6b^{3}\,.$

   Im Nullpunkt ist dabei

   ${}g'(0)=0\,,$

   ${}g^{\prime \prime }(0)=2a^{2}+6ab=2a(a+3b)\,.$

   und

   ${}g^{\prime \prime \prime }(0)=-6b^{3}\,.$

   Bei ${}a>0$ und ${}b>-{\frac {a}{3}}$ liegt längs dieser Geraden ein lokales Minimum vor. Ebenso bei ${}a<0$ und ${}b<-{\frac {a}{3}}$. Bei ${}a<0$ und ${}b>-{\frac {a}{3}}$ und bei ${}a>0$ und ${}b<-{\frac {a}{3}}$ liegt ein lokales Maximum vor. Bei ${}a=0$ ist ${}b\neq 0$, die beiden ersten Ableitungen sind ${}0$ und die dritte nicht, daher liegt nach Fakt kein lokales Extremum vor. Bei ${}a\neq 0$ und ${}b=-{\frac {a}{3}}$ liegt aus dem gleichen Grund kein lokales Extremum vor.

Zur gelösten Aufgabe