Reelle Funktion/Extremum/Höhere Ableitungen/Fakt

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, und  ${}a\in I$  ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

$f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}n$ gerade ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ kein lokales Extremum.
2. Es sei ${}n$ ungerade. Bei  ${}f^{(n+1)}(a)>0$  besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Minimum.
3. Es sei ${}n$ ungerade. Bei  ${}f^{(n+1)}(a)<0$  besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen