Fermatsche Primzahlen/Elementare Übersicht/Textabschnitt

Definition

Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$, wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Lemma

Bei einer Fermatschen Primzahl ${}2^{s}+1$ hat der Exponent die Form ${}s=2^{r}$ mit einem ${}r\in \mathbb {N}$.

Beweis

Wir schreiben ${}s=2^{k}u$ mit ${}u$ ungerade. Damit ist

${}2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^{k}}\right)}^{u}+1\,.$

Für ungerades ${}u$ gilt generell die polynomiale Identität (da ${}-1$ eine Nullstelle ist)

$X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\ldots +X^{2}-X+1\right)}\,.$

Also ist ${}2^{2^{k}}+1\geq 3$ ein Teiler von ${}2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet ${}u=1$.

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Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Eine Zahl der Form ${}2^{2^{r}}+1$, wobei ${}r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

Satz

Ein reguläres ${}n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von ${}n$ die Gestalt

${}n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$

hat, wobei die ${}p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

Beweis

Dieser Satz wird in einer Vorlesung über Körpertheorie bzw. Galoistheorie bewiesen.

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Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen

$3,5,17,257,65537$

überhaupt weitere Fermat-Zahlen gibt, die prim sind. Der folgende Satz hilft bei der Auffindung von Primteilern, da er die Suche wesentlich einschränkt.

Satz

Sei ${}F_{r}=2^{2^{r}}+1$ eine Fermat-Zahl mit ${}r\geq 2$. Dann erfüllt jeder Primfaktor ${}p$ von ${}F_{r}$ die Bedingung

${}p=2^{r+2}a+1\,$

mit einem ${}a\in \mathbb {N} _{+}$.

Beweis

Es sei also ${}p$ ein Primteiler von ${}F_{r}=2^{2^{r}}+1$. Dies bedeutet, dass in ${}\mathbb {Z} /(p)$ die Gleichung

${}2^{2^{r}}=-1\,$

vorliegt. Nach quadrieren ist ${}2^{2^{r+1}}=1$ und die Ordnung von ${}2$ ist ${}2^{r+1}$ (eine kleinere Ordnung ist nicht möglich, da diese ein Teiler von ${}2^{r+1}$ sein muss, aber ${}2^{2^{r}}\neq 1$ ist). Diese Ordnung ist ein Teiler von ${}p-1$, woraus folgt, dass ${}p=1\mod 8$ ist. Dies bedeutet nach dem zweiten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass ${}2$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist. Es sei ${}x^{2}=2\mod p$. Dann ist aber die Ordnung von ${}x$ genau ${}2^{r+2}$. Nach dem Schluss von eben ist ${}2^{r+2}$ ein Teiler von ${}p-1$, was ${}p=2^{r+2}a+1$ bedeutet.

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Satz

Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen ${}F_{m}$ und ${}F_{n}$ sind teilerfremd.

Beweis

Sei ${}m>n$. Dann ist

${}F_{m}-2=2^{2^{m}}-1={\left(2^{2^{n}}\right)}^{2^{m-n}}-1\,.$

Hierbei ist ${}2^{m-n}$ gerade, und daher ist ${}F_{n}=2^{2^{n}}+1$ ein Teiler von dieser Zahl. Das bedeutet, dass ein gemeinsamer Teiler von ${}F_{m}$ und von ${}F_{n}$ auch ein Teiler von ${}F_{m}-2$ ist, also ein Teiler von ${}2$. Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, bleibt nur ${}1$ als gemeinsamer Teiler übrig.

$\Box$

Bemerkung  

Aus Fakt folgt erneut, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Jede Fermatzahl ${}F_{r}=2^{2^{r}}+1$ hat mindestens einen Primfaktor ${}p_{r}$, und diese sind alle verschieden.