Fermatsche Primzahlen/Regelmäßiges n-Eck/Teilbeweise/Einführung/Textabschnitt

Die Frage der Konstruierbarkeit von regelmäßigen ${}n$-Ecken führt uns zu Fermatschen Primzahlen.

Definition

Eine Primzahl der Form ${}2^{s}+1$, wobei ${}s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen

$3,5,17,257,65537$

überhaupt weitere Fermatsche Primzahlen gibt.

Lemma

Bei einer Fermatschen Primzahl ${}2^{s}+1$ hat der Exponent die Form ${}s=2^{r}$ mit einem ${}r\in \mathbb {N}$.

Beweis

Wir schreiben ${}s=2^{k}u$ mit ${}u$ ungerade. Damit ist

${}2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^{k}}\right)}^{u}+1\,.$

Für ungerades ${}u$ gilt generell die polynomiale Identität (da ${}-1$ eine Nullstelle ist)

$X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\ldots +X^{2}-X+1\right)}\,.$

Also ist ${}2^{2^{k}}+1\geq 3$ ein Teiler von ${}2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet ${}u=1$.

$\Box$

Diese Torte wurde nicht mit Zirkel und Lineal geteilt.

Satz

Ein reguläres ${}n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von ${}n$ die Gestalt

${}n=2^{\alpha }p_{1}\cdots p_{k}\,$

hat, wobei die ${}p_{i}$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

Beweis

Wir zeigen nur die eine Richtung, dass bei einem konstruierbaren regelmäßigen ${}n$-Eck die Zahl ${}n$ die angegebene numerische Bedingung erfüllen muss. Es sei

${}n=2^{\alpha }p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen ${}p_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$, und positiven Exponenten ${}r_{i}\geq 1$ (und ${}\alpha \geq 0$). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also

${}{\varphi (n)}=2^{t}\,.$

Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung

${}{\varphi (n)}=2^{\alpha -1}(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$

(bei ${}\alpha =0$ ist der Ausdruck ${}2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten ${}1$ (oder ${}0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl ${}p$ die Gestalt ${}p=2^{s}+1$ haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl ${}p$ das regelmäßige ${}p$-Eck konstruierbar ist. Dies haben wir für ${}p=3,5$ explizit getan. Gauss selbst hat eine Konstruktion für das reguläre ${}17$-Eck angegeben. Für die anderen Fermatschen Primzahlen (bekannt oder nicht)

folgt die Konstruierbarkeit aus der Galoistheorie.

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