Fermatsche Primzahlen/Regelmäßiges n-Eck/Teilbeweise/Einführung/Textabschnitt
Die Frage der Konstruierbarkeit von regelmäßigen -Ecken führt uns zu Fermatschen Primzahlen.
Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen
überhaupt weitere Fermatsche Primzahlen gibt.
Bei einer Fermatschen Primzahl hat der Exponent die Form mit einem .
Wir schreiben mit ungerade. Damit ist
Für ungerades gilt generell die polynomiale Identität (da eine Nullstelle ist)
Also ist ein Teiler von . Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet .
Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt
hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.
Beweis
die Primfaktorzerlegung von mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen , , und positiven Exponenten (und ). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also
Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung
(bei
ist der Ausdruck zu streichen).
Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten
(oder )
auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl die Gestalt
haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von
Fakt
lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl das regelmäßige -Eck
konstruierbar
ist. Dies haben wir für
explizit getan. Gauss selbst hat eine Konstruktion für das reguläre -Eck angegeben. Für die anderen Fermatschen Primzahlen
(bekannt oder nicht)