Fläche im Raum/Schnittkrümmung/Gaußkrümmung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist die Schnittkrümmung auf einer Karte gleich ${}-{\frac {R_{121}^{2}}{g_{11}}}$. Wegen

$R_{121}^{2}={\partial _{1}}\Gamma _{12}^{2}-{\partial _{2}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}=-g_{11}K\,.$

ist

$K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,$

was mit der Gaußkrümmung gemäß Fakt übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage