Flächentreue Abbildung/Dreiecks-Polynome/Beispiel/Aufgabe/Lösung

1. Die Jacobi-Matrix in ${}(x,y)$ ist

   ${\begin{pmatrix}1&2y\\3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}&1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\end{pmatrix}}.$

2. Die Jacobi-Determinante in ${}(x,y)$ ist

   ${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&2y\\3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}&1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\end{pmatrix}}&={\left(1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\right)}-2y{\left(3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}\right)}\\&=1.\,\end{aligned}}$

3. Nach Teil (2) und Fakt ist wegen der Bijektivität der Flächeninhalt des Bildes gleich dem Flächeninhalt des Einheitskreises, also gleich ${}\pi$.

Zur gelösten Aufgabe