Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Fakt gibt es ein  ${}z_{0}\in {\mathbb {C} }$  mit  ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(z_{0})}\vert$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$.  Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum ${}0$ ist. Wir nehmen also an, dass  ${}\vert {P(z_{0})}\vert >0$  ist, und müssen dann ein ${}z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen ${}z-z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle ${}0$ angenommen wird, und durch Division durch ${}P(z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert ${}1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

${}P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,$

mit  ${}k\geq 1$  und  ${}c_{k}\neq 0$  vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Fakt gibt es ein  ${}\gamma \in {\mathbb {C} }$  mit  ${}\gamma ^{k}=-c_{k}^{-1}$.  Wir setzen  ${}z=\gamma w$  (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen ${}w$ erhalten wir ein Polynom der Form

$1-w^{k}+w^{k+1}Q(w),$

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist ${}Q(w)\in {\mathbb {C} }[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Fakt gibt es ein  ${}b\in \mathbb {R} _{+}$  mit  ${}\vert {Q(w)}\vert \leq b$  für alle  ${}w\in B\left(0,1\right)$.  Für reelles ${}w$ mit  ${}0<w<{\min {\left(1,b^{-1}\right)}}$  gilt

${}{\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}$

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage