Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $P\in ℂ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Fakt gibt es ein  $z_0\in ℂ$  mit  $|P(z)|\ge |P(z_0)|$  für alle  $z\in ℂ$.  Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum $0$ ist. Wir nehmen also an, dass  $|P(z_0)|>0$  ist, und müssen dann ein $z_1$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen $z-z_0$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle $0$ angenommen wird, und durch Division durch $P(z_0)$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert $1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

$P=1+c_k{z}^k+c_{k+1}{z}^{k+1}+\cdots +c_d{z}^d$

mit  $k\ge 1$  und  $c_k\ne 0$  vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Fakt gibt es ein  $\gamma \in ℂ$  mit  ${\gamma }^k=-c_k^{-1}$.  Wir setzen  $z=\gamma w$  (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen $w$ erhalten wir ein Polynom der Form

$1-w^k+w^{k+1}Q(w),$

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist $Q(w)\in ℂ[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Fakt gibt es ein  $b\in {ℝ}_{+}$  mit  $|Q(w)|\le b$  für alle  $w\in B(0,1)$.  Für reelles $w$ mit  $0<w<min(1,b^{-1})$  gilt

$\begin{array}{cc}|1-w^k+w^{k+1}Q(w)|& \le |1-w^k|+|w^{k+1}Q(w)|\\ & =1-w^k+w^{k+1}|Q(w)|\\ & =1-w^k(1-w|Q(w)|)\\ & <1.\end{array}$

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage