Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Beweis

Beweis

Sei  $x\in T$  und  $ϵ>0$  vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein $n_0$ mit  $d(f_n(y),f(y))\le ϵ/3$  für alle  $n\ge n_0$  und alle  $y\in T$.  Wegen der Stetigkeit von $f_{n_0}$ in $x$ gibt es ein  $\delta >0$  mit  $d(f_{n_0}(x),f_{n_0}(y))\le ϵ/3$  für alle  $y\in T$  mit  $d(x,y)\le \delta$.  Für diese $y$ gilt somit

$\begin{array}{cc}d(f(x),f(y))& \le d(f(x),f_{n_0}(x))+d(f_{n_0}(x),f_{n_0}(y))+d(f_{n_0}(y),f(y))\\ & \le ϵ/3+ϵ/3+ϵ/3\\ & =ϵ.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage