Funktionenfolge/Spitzenfunktion/Spitze in 1 durch n/Punktweise gegen null/Aufgabe

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ betrachten wir die Funktionen

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x),$

die durch

${}f_{n}(x)={\begin{cases}0,{\text{ für }}x\leq 0,\\nx{\text{ für }}0<x\leq 1/n,\\2-nx{\text{ für }}1/n<x\leq 2/n,\\0,{\text{ für }}x>2/n\,.\end{cases}}\,$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion

konvergiert.

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