Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$  offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt  ${}P\in G$  reell total differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}f=g+{\mathrm {i} }h$  mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei  ${}z=x+{\mathrm {i} }y$.  Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

   ${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

   gelten.
2. Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt  ${}a\in G$  mit

   ${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$

   für alle  ${}z\in G$. 

   Dann ist ${}f$ konstant.
3. Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  definierte holomorphe Funktion und seien

   $\alpha ,\beta \colon [a,b]\longrightarrow U$

   stetige Wege mit  ${}\alpha (a)=\beta (a)$  und  ${}\alpha (b)=\beta (b)$,  die zueinander homotop seien.

   Dann ist

   ${}\int _{\alpha }f(z)dz=\int _{\beta }f(z)dz\,.$

Zur gelösten Aufgabe