Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}f(P)\neq 0$. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}f=h^{k}$.
2. Für eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   sind folgende Aussagen äquivalent.

   1. ${}f$ ist komplex differenzierbar.
   2. ${}f$ ist unendlich oft (stetig) komplex differenzierbar.
   3. ${}f$ lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln, d.h. ${}f$ ist komplex-analytisch.
3. Jedes Gitter in ${}{\mathbb {C} }$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} u$ mit ${}u\in {\mathbb {H} }$.

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