Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Es sei  $G\subseteq ℂ$  offen und $f:G\to ℂ$ eine im Punkt  $P\in G$  reell total differenzierbare Abbildung. Es sei  $f=g+\mathrm{i}h$  mit reellwertigen Funktionen $g,h:G\to ℝ$. Sei  $z=x+\mathrm{i}y$.  Dann ist $f$ genau dann in $P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

   $\frac{\partial g}{\partial y}(P)=-\frac{\partial h}{\partial x}(P)\text{ und }\frac{\partial h}{\partial y}(P)=\frac{\partial g}{\partial x}(P)$

   gelten.
2. Es sei $f:ℂ\to ℂ$ eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei. Dann ist $f$ konstant.
3. Es seien  $0\le r<R$  reelle Zahlen (wobei für $R$ auch $\mathrm{\infty }$ erlaubt ist),  $a\in ℂ$  ein Punkt und sei $f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring

   $U=U(a,r,R)=U(a,R)\setminus B(a,r).$

   Dann gibt es eine auf $U$ konvergente Laurent-Reihe $\sum _{n\in \mathbb{Z}}{c}_n(z-a{)}^n$, die dort $f$ darstellt.

   Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

   $c_n=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz,$

   wobei $\gamma$ eine einfache Umrundung von $a$ im Kreisring $U$ ist.

Zur gelösten Aufgabe