Funktoren/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es seien und Kategorien. Ein kovarianter Funktor von nach ist eine Zuordnung, die jedem Objekt ein Objekt und jedem Morphismus einen Morphismus zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Zu Objekten und Morphismen und ist
  2. Es ist

    für jedes Objekt aus .


Definition  

Es seien und Kategorien. Ein kontravarianter Funktor von nach ist eine Zuordnung, die jedem Objekt ein Objekt und jedem Morphismus einen Morphismus zuordnet, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Zu Objekten und Morphismen und ist
  2. Es ist

    für jedes Objekt aus .

Ein kontravarianter Funktor ist dasgleiche wie ein kovarianter Funktor auf der oppositionellen Kategorie. Von daher muss man sich prinzipiell nur mit kovarianten Funktoren beschäftigen. Von den Beispielen her wäre das aber künstlich. Bei einem kovarianten Funktor gibt es zu Objekten eine Abbildung

und bei einem kontravarianten Funktor gibt es eine Abbildung


Beispiel  

Es sei die Kategorie der Mengen und sei eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge die Abbildungsmenge zuordnet, ein kovarianter Funktor. Einem Morphismus (also einfach eine Abbildung) wird dabei die Abbildung

zugeordnet.



Beispiel  

Es sei die Kategorie der Mengen und sei eine fixierte Menge. Dann ist die Zuordnung, die jeder Menge die Abbildungsmenge zuordnet, ein kontravarianter Funktor. Einem Morphismus wird dabei die Abbildung

zugeordnet.