Galoisgruppe/x^5+p^2x^4-p/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ergibt sich aus dem Kriterium von Eisenstein.
(2). Wir berechnen einige Funktionswerte von ${}F$. Es ist

${}F{\left(-a^{2}\right)}=-a^{10}+a^{10}-a=-a<0\,,$

${}F(-1)=-1+a^{2}-a=-1+a(a-1)>0\,,$

${}F(0)=-a<0\,$

und schließlich

${}F(1)=1+a^{2}-a>0\,.$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mindestens drei reelle Nullstellen. Die Ableitung von ${}F$ ist

${}F'=5X^{4}+4a^{2}X^{3}=5X^{3}{\left(X+{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\,$

und besitzt die beiden reellen Nullstellen ${}0$ und ${}-{\frac {4}{5}}a^{2}$. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kann somit ${}F$ nicht mehr als drei reelle Nullstellen besitzen, da zwischen zwei Nullstellen stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Die Nullstellen der Ableitung sind wegen

${}F{\left(-{\frac {4}{5}}a^{2}\right)}\neq 0\,$

(wegen der Irreduzibilität von ${}F$ über ${}\mathbb {Q}$) keine Nullstelle von ${}F$, sodass ${}F$ keine mehrfache Nullstelle besitzen kann. Daher muss es zwei weitere komplexe nichtreelle Nullstellen geben.
(3) und (4) folgen aus (1), (2) und Fakt.

Zur bewiesenen Aussage