Galoisgruppe und Fixkörper/Einfache Korrespondenzeigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}G=\operatorname {Aut} \,L$ die Automorphismengruppe von ${}L$. Begründe die folgenden Beziehungen.

1. Für Untergruppen ${}H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq G$ ist ${}\operatorname {Fix} \,(H_{1})\supseteq \operatorname {Fix} \,(H_{2})$.
2. Für Unterkörper ${}M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq L$ ist ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M_{1})\supseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}M_{2})$.
3. Für eine Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ${}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}\operatorname {Fix} \,(H))$.
4. Für einen Unterkörper ${}M\subseteq L$ ist ${}M\subseteq \operatorname {Fix} \,(\operatorname {Gal} \,(L{|}M))$.

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