Zu einer Primidealkette p 0 ⊂ p 1 ⊂ … ⊂ p n {\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}} aus S {\displaystyle {}S} ist die Kette φ ∗ ( p 0 ) ⊂ φ ∗ ( p 1 ) ⊂ … ⊂ φ ∗ ( p n ) {\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})\subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})\subset \ldots \subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{n})} nach Fakt ebenfalls echt, sodass
ist. Zu einer Primidealkette q 0 ⊂ q 1 ⊂ … ⊂ q n {\displaystyle {}{\mathfrak {q}}_{0}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {q}}_{n}} aus R {\displaystyle {}R} gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal p 0 {\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}} aus S {\displaystyle {}S} mit φ ∗ ( p 0 ) = q 0 {\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}} . Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette p 0 ⊂ p 1 ⊂ … ⊂ p n {\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}} mit φ ∗ ( p i ) = q i {\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{i})={\mathfrak {q}}_{i}} fortsetzen. Daher ist auch
