Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Addition/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Dass das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus den ersten beiden Teilen der Definition der Addition.
  2. Die Kommutativität der Addition beweisen wir mit einer Fallunterscheidung, je nachdem, ob die Summanden nichtnegativ (natürliche Zahlen) oder negativ sind. Wenn beide Summanden aus sind, ergibt sich dies unmittelbar aus der Kommutativität der Addition in den natürlichen Zahlen. Wenn aus ist und negativ ist, so muss man eine weitere Fallunterscheidung vornehmen. Bei ist

    nach dem (der ersten Hälfte des) zweiten Teil der Definition, und ebenso ist

    nach dem (der ersten Hälfte des) dritten Teils der Definition. Bei ist wiederum

    nach den Definitionen. Wenn beide Zahlen negativ sind ergibt sich die Kommutativität sofort aus dem vierten Teil der Definition.

  3. Die Assoziativität nachzuweisen ist aufwändiger, da dann drei Zahlen ins Spiel kommen, für die es jeweils mehrere Fälle gibt. Wenn eine der beteiligten Zahlen aber ist, so ist die Aussage wegen der bewiesenen neutralen Eigenschaft der klar. Wir müssen also nur noch die acht Fälle (in denen selbst jeweils wiederum Fallunterscheidungen gemäß der Größenbeziehung der beteiligten Elemente nötig sind) durchgehen, je nachdem, ob positiv oder negativ sind. Wenn beispielsweise mit positiven Zahlen ist, so ist

    Wenn ist, so ist dies (in ), andernfalls ist dies . Für die andere Klammerung ergibt sich

    Bei ist einerseits

    und andererseits

    Somit ist die zweite Klammerung in diesem Fall nach Aufgabe ebenfalls gleich

    Bei unterscheiden wir die Fälle und . Bei ist und daher ist unter Verwendung von Fakt  (3)

    Bei ist erst recht und somit ist nach Fakt  (2)

    Für die anderen Fälle siehe Aufgabe.

  4. Bei positivem hat die Eigenschaft, dass die Summe

    ist, bei negativem mit mit erfüllt die Eigenschaft.

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