Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Nachfolger/Negation/Einführung/Textabschnitt

Definition

Die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$, der ${}0$ und der Menge ${}{\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.

Diese Definition hat den Vorteil, dass sie direkt ist und ohne mengentheoretische Überlegungen (Äquivalenzrelationen) auskommt. Jede ganze Zahl gehört unmittelbar zu genau einem der drei Typen (positiv, ${}0$ , negativ). Der Nachteil ist, dass die Verknüpfungen darauf, nämlich die Addition und die Multiplikation, die die gleichnamigen Verknüpfungen auf den natürlichen Zahlen fortsetzen sollen, nicht unmittelbar ersichtlich sind, sondern auf eine Weise festgelegt werden müssen, die zumindest auf den ersten Blick etwas willkürlich aussehen mag. Zugleich ist der Nachweis der Gesetzmäßigkeiten, wie beispielsweise das Assoziativgesetz, recht aufwändig, da man alle Kombinationen der möglichen Fälle untersuchen muss.

Das Minuszeichen ${}-$ kommt in dieser Definition nur im Sinne einer Bezeichnung vor, es ist Teil eines Namens (das Vorzeichen) für eine neue Zahl. Das Minuszeichen wird bald unterschiedliche Funktionen übernehmen, die man konzeptionell auseinanderhalten muss, siehe Aufgabe.

Bemerkung  

Die negativen Zahlen kann man ausgehend von jedem Bezeichnungsystem für die natürlichen Zahlen bilden, die neuen Zahlen ergeben sich ja einfach aus den natürlichen Zahlen, indem man ein Minuszeichen davorsetzt. Beispielsweise sind

1. $...,-{|}{|}{|},-{|}{|},-{|},0,{|},{|}{|},{|}{|}{|}....$

2. $...,-NNN0,-NN0,-N0,0,N0,NN0,NNN0,....$

3. $...,{\text{minus drei}},{\text{minus zwei}},{\text{minus eins}},{\text{null}},{\text{eins}},{\text{zwei}},{\text{drei}},....$

4. $...,-c,-b,-a,0,a,b,c,....$

5. $...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$

angedeutete Auflistungen für alle ganzen Zahlen.

Insbesondere kann man den Zahlenstrahl zu einer Zahlengeraden erweitern und links von der ${}0$ die negativen Zahlen ${}-1,-2,...$ platzieren. Durch diese Anordnung entsteht eine Symmetrie am Nullpunkt, wobei die negative Zahl ${}-a$ der positiven Zahl ${}a$ gegenüber liegt. Diese Symmetrie gilt insbesondere auf der Zahlengeraden. Wenn man die ganzen Zahlen dynamisch als (gleichlange) Schritte nach rechts bzw. nach links (oder nach vorne bzw. nach hinten oder nach oben bzw. nach unten) interpretiert, so sehen die negativen Zahl so „natürlich“ wie die positiven Zahlen aus.

Wie verhalten sich die ganzen Zahlen bezüglich der Zählvorstellung (im Sinne der Nachfolgerabbildung) für die natürlichen Zahlen, die wir kennengelernt haben? Die richtige Vorstellung ergibt sich, wenn man die Nachfolgerabbildung auf ${}\mathbb {Z}$ fortsetzt, und dabei gemäß der in Bemerkung schon verwendeten Reihenfolge vorgeht (dort wurde die Nachfolgerabbildung durch die gewählte Anordnung schon vorweggenommen). Wenn man auf der Zahlenstrahl ist, so erhält man den Nachfolger in ${}\mathbb {N}$, indem man einen Schritt (einer fixierten einheitlichen Länge) nach rechts macht. Diese Interpretation des Nachfolgers lässt sich unmittelbar auf die Zahlengerade fortsetzen, der Nachfolger ist und bleibt der Schritt nach rechts (Permanenzprinzip).

Die algebraische Definition sieht folgendermaßen aus.

Definition

Unter dem Nachfolger ${}N(x)$ einer ganzen Zahl ${}x\in \mathbb {Z}$ versteht man die Zahl

${}N(x):={\begin{cases}N(a),{\text{ falls }}x=a\in \mathbb {N} \,,\\-V(b),{\text{ falls }}x=-b{\text{ mit }}b\in \mathbb {N} _{+}\,.\end{cases}}\,$

In dieser Definition wird also Bezug auf die Nachfolgerabbildung in ${}\mathbb {N}$ (also ${}+1$) und die Vorgängerabbildung ${}V\colon \mathbb {N} _{+}\rightarrow \mathbb {N}$ (also ${}-1$) Bezug genommen.

Lemma

Die Nachfolgerabbilung ${}N\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. Die Nachfolgerabbildung stimmt auf ${}\mathbb {N}$ mit der dortigen Nachfolgerabbildung überein.
2. Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv. (Die Umkehrabbildung wird als Vorgängerabbildung ${}V$ bezeichnet.)
3. Es ist ${}N(-a)=-V(a)$ und ${}V(-b)=-N(b)$ für ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$.
4. Jede ganze Zahl lässt sich ausgehend von ${}0$ durch eine Iteration der Nachfolgerabbildung oder eine Iteration der Vorgängerabbildung erreichen.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die Bijektivität der Nachfolgerabbildung bedeutet insbesondere, dass die Nachfolgergleichung ${}N(x)=z$ für jedes ${}z\in \mathbb {Z}$ eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich den Vorgänger von ${}z$. Durch diese Zielsetzung kann man auch die ganzen Zahlen einführen. Man möchte für die ${}0$ einen Vorgänger haben (den es innerhalb der natürlichen Zahlen nicht gibt), und diesen nennt man ${}V(0)$. Für diese neue Zahl möchte man wieder einen Vorgänger haben, diesen nennt man ${}V(V(0))$, davon möchte man wieder einen Vorgänger ${}V(V(V(0)))$ haben, u.s.w. Für den ${}k$-fachen Vorgänger ${}V^{k}(0)$ schreibt man dann ${}-k$.

Bemerkung  

Der Apfelkorb G

Der Apfelkorb H

Welche Objekte bzw. Strukturen kann man mit den ganzen Zahlen zählen? Es gibt keine Mengen mit negativ vielen Elementen! Dennoch gibt es viele Situationen, wo man mit ganzen Zahlen sinnvoll zählen kann. Sobald es einen (gerichteten) Prozess zusammen mit einem zugehörigen gegenläufigen Prozess gibt, wie etwa einen Schritt nach rechts bzw. einen Schritt nach links zu machen, oder wenn man zwei sehr große Haufen (oder Körbe) an Äpfeln hat, und der Prozess ist, einen Apfel von dem einen Haufen zu dem anderen Haufen zu transportieren (mit dem umgekehrten Transport als dem gegenläufigen Prozess), so kann man die möglichen (hintereinander ausgeführten) Prozesse durch die ganzen Zahlen beschreiben: ${}7$ (oder deutlicher ${}+7$) bedeutet ${}7$ Äpfel von Haufen ${}G$ nach Haufen ${}H$ übertragen, ${}-3$ bedeutet drei Äpfel von Haufen ${}H$ nach Haufen ${}G$ übertragen. Hierbei muss man willkürlich festlegen, welche Prozessrichtung man als positiv ansehen möchte. Auch in der Hauswirtschaft werden die Einnahmen positiv und die Ausgaben negativ verbucht. Damit zusammenhängend werden negative Zahlen häufig als Schulden und positive Zahlen als Guthaben interpretiert.

Definition

Unter der Negation auf der Menge der ganzen Zahl ${}\mathbb {Z}$ versteht man die Abbildung ${}-\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$, die durch

${}-(x):={\begin{cases}-a,{\text{ falls }}x=a\in \mathbb {N} \,,\\b,{\text{ falls }}x=-b{\text{ mit }}b\in \mathbb {N} _{+}\,,\end{cases}}\,$

gegeben ist.

Hier tritt das Minuszeichen in einer zweiten Bedeutung auf, als Funktionssymbol. Für ${}a\in \mathbb {N}$ ist ${}-a=-a$, d.h. Vorzeichen und Funktionssymbol stimmen überein (das ist der Grund, warum man das gleiche Symbol verwenden kann), für ${}b\in \mathbb {N}$ ist ${}-(-b)=b$, wobei das vordere Minuszeichen das Funktionssymbol und das hintere Minuszeichen das Vorzeichen ist. Ferner gilt ${}-(-x)=x$ für jedes ${}x\in \mathbb {Z}$, wobei hier das Minuszeichen zweimal das Funktionssymbol bezeichnet. Die Negation ist auf dem Zahlenstrahl die Spiegelung an der ${}0$, sie macht aus einen Schritt nach rechts ein Schritt nach links (und umgekehrt) und vertauscht Guthaben und Schulden.