Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

$(1)\Rightarrow (2)$. Wenn $k$ ein Teiler von $n$ ist, so ist $n=ak$ mit einem $a\in \mathbb{Z}$ und daher ist $n\in \mathbb{Z}k$. Somit gilt die Idealinklusion $\mathbb{Z}n\subseteq \mathbb{Z}k$.
$(2)\Rightarrow (3)$. Wegen der Idealinklusion $\mathbb{Z}n\subseteq \mathbb{Z}k$ wird unter dem Restklassen-Ringhomomorphismus

$\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(k)$

das Ideal $\mathbb{Z}n$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es aufgrund des Satzes über die induzierte Abbildung einen Ringhomomorphismus

$\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k).$

$(3)\Rightarrow (4)$. Es sei

$\phi :\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k)$

der gegebene Ringhomomorphismus. Dieser ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, und es gilt $\phi (1)=1$. Da die $1\in \mathbb{Z}/(k)$ diese Gruppe erzeugt, ist $\phi$ surjektiv.
$(4)\Rightarrow (1)$. Es sei

$\phi :\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Bei $n=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also $n\ne 0$, sodass die angegebenen Gruppen die endlichen Ordnungen $n$ bzw. $k$ besitzen. Dabei ist nach dem Isomorphiesatz die Gruppe $\mathbb{Z}/(k)$ isomorph zu einer Restklassengruppe von $\mathbb{Z}/(n)$ und aufgrund der Indexformel ist $k$ (die Anzahl der Nebenklassen) ein Teiler von $n$.

Zur gelösten Aufgabe