Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

${}(1)\Rightarrow (2)$. Wenn ${}k$ ein Teiler von ${}n$ ist, so ist ${}n=ak$ mit einem ${}a\in \mathbb {Z}$ und daher ist ${}n\in \mathbb {Z} k$. Somit gilt die Idealinklusion ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Wegen der Idealinklusion ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$ wird unter dem Restklassen-Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$

das Ideal ${}\mathbb {Z} n$ auf ${}0$ abgebildet. Daher gibt es aufgrund des Satzes über die induzierte Abbildung einen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

${}(3)\Rightarrow (4)$. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$

der gegebene Ringhomomorphismus. Dieser ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, und es gilt ${}\varphi (1)=1$. Da die ${}1\in \mathbb {Z} /(k)$ diese Gruppe erzeugt, ist ${}\varphi$ surjektiv.
${}(4)\Rightarrow (1)$. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Bei ${}n=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}n\neq 0$, sodass die angegebenen Gruppen die endlichen Ordnungen ${}n$ bzw. ${}k$ besitzen. Dabei ist nach dem Isomorphiesatz die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(k)$ isomorph zu einer Restklassengruppe von ${}\mathbb {Z} /(n)$ und aufgrund der Indexformel ist ${}k$ (die Anzahl der Nebenklassen) ein Teiler von ${}n$.

Zur gelösten Aufgabe