Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

. Wenn ein Teiler von ist, so ist mit einem und daher ist . Somit gilt die Idealinklusion .
. Wegen der Idealinklusion wird unter dem Restklassen-Ringhomomorphismus

das Ideal auf abgebildet. Daher gibt es aufgrund des Satzes über die induzierte Abbildung einen Ringhomomorphismus


. Es sei
der gegebene Ringhomomorphismus. Dieser ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, und es gilt . Da die diese Gruppe erzeugt, ist surjektiv.
. Es sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Bei ist die Aussage richtig. Sei also , so dass die angegebenen Gruppen die endlichen Ordnungen bzw. besitzen. Dabei ist nach dem Isomorphiesatz die Gruppe isomorph zu einer Restklassengruppe von und aufgrund der Indexformel ist (die Anzahl der Nebenklassen) ein Teiler von .
Zur gelösten Aufgabe