Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir zeigen die Existenz des durch Induktion über für jedes . Für ist die Aussage klar. Sei . Wir schreiben mit und betrachten (für ) die auf dem binomischen Lehrsatz in Verbindung mit beruhende Abschätzung

Da positiv ist, gibt es nach Fakt eine natürliche Zahl mit

Für ist dann

wie gewünscht. Sei nun die Aussage für und alle schon bewiesen, und wir müssen sie für beweisen. Wir schreiben mit Zahlen

die es nach Aufgabe gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle die Abschätzung

gilt. Damit gilt für alle

die Abschätzung

Zur gelösten Aufgabe